信息论

信息论（英语：information theory）是应用数学、电子学和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学、进化论和分子编码的功能、生态学的模式选择、热物理、量子计算、语言学、剽窃检测、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。

熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个符号的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定掷硬币的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。

信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。

信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（DSL））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和电机工程学的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、信息论安全性和信息度量等。

信息论简述

信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。

一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点： 首先，最常用的词（比如”a”、”the”、”I”）应该比不太常用的词（比如”benefit”、”generation”、”mediocre”）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（robustness）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。

注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话与像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。

信息的度量

信息熵

美国数学家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《通信的数学理论》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利于1920年代先后发表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：

$${\displaystyle H(X)=\mathbb {E} _{X}[I(x)]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}^{}p(x)\log _{2}({\frac {1}{p(x)}})}$$
其中$${\mathcal {X}}$$为有限个事件x的集合，X是定义在$${\mathcal {X}}$$上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。

信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:

$${\displaystyle S(X)=k_{B}H(X)}$$
其中S(X)为热力学熵，H(X)为信息熵，$$k_{B}$$为波兹曼常数。 事实上这个关系也就是广义的波兹曼熵公式，或是在正则系综内的热力学熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，启发了信息论的熵。

信息熵是信源编码定理中，压缩率的下限。当我们用少于信息熵的信息量做编码，那么我们一定有信息的损失。香农在大数定律和渐进均分性的基础上定义了典型集和典型序列。典型集是典型序列的集合。因为一个独立同分布的X序列属于由X定义的典型集的概率大约为1，所以只需要将属于典型集的无记忆X信源序列编为唯一可译码，其他序列随意编码，就可以达到几乎无损失的压缩。

例子
若S为一个三个面的骰子,

P(面一)=1/5,

P(面二)=2/5,

P(面三)=2/5

$${\displaystyle H(X)={\frac {1}{5}}\log _{2}(5)+{\frac {2}{5}}\log _{2}\left({\frac {5}{2}}\right)+{\frac {2}{5}}\log _{2}\left({\frac {5}{2}}\right)}$$

联合熵与条件熵

联合熵（Joint Entropy）由熵的定义出发，由联合分布，我们有:

$${\displaystyle H(X,Y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}^{}p(x,y)\log({\frac {1}{p(x,y)}})}$$
条件熵（Conditional Entropy），顾名思义，从条件概率p(y|x)做定义:

$${\displaystyle H(Y|X)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}^{}p(x,y)\log({\frac {1}{p(y|x)}})}$$
因为由贝叶斯法则，我们有$${\displaystyle p(x,y)=p(y|x)p(x)}$$，带入联合熵的定义，可以分离出条件熵，于是得到联合熵与条件熵的关系式:

$${\displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y)=H(Y,X)}$$
链式法則
我们可以再对联合熵与条件熵的关系做推广，假设现在有n个随机变量$${\displaystyle X_{i},i=1,2,…,n}$$，重复分离出条件熵，我们有:

$$H(X_{1},X_{2},…,X_{n})=$$
$$H(X_{1})+H(X_{2},…,X_{n}|X_{1})=$$
$$H(X_{1})+H(X_{2}|X_{1})+H(X_{3},…,X_{n}|X_{1},X_{2})=$$
$$H(X_{1})+\sum_{i=2}^{n}H(X_{i}|X_{1},…,X_{i-1})$$
他的意义显而易见，假如我们接收一段数列$${\displaystyle {X_{1},X_{2},…,X_{n}}}$$，且先收到$$X_1$$，再来是$$X_2$$，依此类推。那么收到$$X_1$$后总消息量为$${\displaystyle H(X_{1})}$$，收到$$X_2$$后总消息量为$${\displaystyle H(X_{1})+H(X_{2}|X_{1})}$$，直到收到$$X_{n}$$后我们的总消息量应为$${\displaystyle H(X_{1},…,X_{n})}$$，于是这个接收过程中就给出了链式法則。

互信息

互信息（Mutual Information）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件X和Y的互信息定义为：

$${\displaystyle I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X)}$$
其意义为，若我们想知道Y包含多少X的信息，在尚未得到Y之前，我们的不确定性是$${\displaystyle H(X)}$$，得到Y后，不确定性是$${\displaystyle H(X|Y)}$$。所以一旦得到Y后，我们消除了$${\displaystyle H(X)-H(X|Y)}$$的不确定量，这就是Y对X的信息量。

如果X,Y互为独立，则$${\displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y)}$$，于是$$I(X;Y)=0$$。

又因为$${\displaystyle H(X|Y)\leq H(X)}$$，所以

$${\displaystyle I(X;Y)\leq \min(H(X),H(Y))}$$，其中等号成立条件为Y=g(X)，g是一个双射函数
互信息与G检验以及皮尔森卡方检验有着密切的联系。
跟概率有关内容，可以参考极客本系列文章的《概率分布》。