期望值

在概率论和统计学中,一个离散性随机变量的期望值(或数学期望,亦简称期望)是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说,期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次,所有那些可能状态平均的结果,便基本上等同“期望值”所期望的数。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说,期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域,也并不一定等于值域平均值。

例如,掷一枚公平的六面骰子,其每次“点数”的期望值是3.5,计算如下:

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=\end{aligned}}

{\begin{aligned} {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5 \end{aligned}}

不过如上所说明的,3.5虽是“点数”的期望值,但却不属于可能结果中的任一个,没有可能掷出此点数。

赌博是期望值的一种常见应用。例如,美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字,每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上,如果轮盘的输出值和这个数字相等,那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金(原注不包含在内),若输出值和下压数字不同,则赌注就输掉了。考虑到38种所有的可能结果,然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”,则因此,讨论赢或输两种预想状态的话,以1美元赌注押一个数字上,则获利的期望值为:赢的“概率38分之1,能获得35元”,加上“输1元的情况37种”,结果约等于-0.0526美元。也就是说,平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美元,即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0.0526美元。

数学定义

如果X是在概率空间{\displaystyle (\Omega ,F,P)}中的随机变量,那么它的期望值{\displaystyle \operatorname {E} (X)}的定义是:

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\mathrm {d} P}
并不是每一个随机变量都有期望值的,因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同,则它们的期望值也相同。

如果是离散的随机变量,输出值为x_{1},x_{2},\ldots ,和输出值相应的概率为p_{1},p_{2},\ldots (概率和为1)。

若级数{\displaystyle \sum_{i}p_{i}x_{i}}绝对收敛,那么期望值{\displaystyle \operatorname {E} (X)}是一个无限数列的和。

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum_{i}p_{i}x_{i}}
上面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。如果X是连续的随机变量,存在一个相应的概率密度函数f(x),若积分{\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}绝对收敛,那么X的期望值可以计算为:

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm {d} x}
是针对于连续的随机变量的,与离散随机变量的期望值的算法同出一辙,由于输出值是连续的,所以把求和改成了积分。

性质

  • 期望值E是线性函数。
    {\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)}
    X和Y为在同一概率空间的两个随机变量(可以独立或者非独立),a和b为任意实数。
  • 一般的说,一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。
    {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))}
  • 在一般情况下,两个随机变量的积的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积。
    {\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}成立时,随机变量X和Y的协方差为0,又称它们不相关。特别的,当两个随机变量独立时,它们协方差(若存在)为0。

期望值的运用

在统计学中,估算变量的期望值时,经常用到的方法是重复测量此变量的值,再用所得数据的平均值来估计此变量的期望值。

在概率分布中,期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在古典力学中,物体重心的算法与期望值的算法十分近似。

在赌博中,期望值又称预期值、长期效果值、合理价值、期待值,都能完全贴和,而其计算的方式为:

{\displaystyle \mathrm {EV} }(期望值)=胜的概率\times获胜的筹码-输的概率\times输掉的筹码
期望值也可以通过方差计算公式来计算方差:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}}

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