C++程序 在按行排序的矩阵中找到中位数
给定大小为r * c的按行排序的矩阵,需要在矩阵中找到中位数。假设r * c始终是奇数。
例子:
输入: 1 3 5
2 6 9
3 6 9
输出: 中位数是5
如果我们将所有值放入已排序数组A[]中= 1 2 3 3 5 6 6 9 9)
输入:1 3 4
2 5 6
7 8 9
输出:中位数是5
简单方法 :解决此问题的最简单方法是将给定矩阵的所有元素存储在大小为r * c的数组中。然后,我们可以对数组进行排序并在O(r * clog(r * c))中查找中位数元素,或者我们可以使用此处讨论的方法在O(r * c)中查找中位数。两种情况下都需要O(r * c)的辅助空间。
一个 高效的方法 解决此问题是使用二进制搜索算法。它的想法是:对于数字来说,中位数应恰好有(n / 2)个数字小于这个数字。因此,我们尝试找到小于所有数字的数量。以下是此方法的逐步算法:
算法 :
- 首先,我们找到矩阵中的最小和最大元素。可以通过将每行的第一个元素进行比较来轻松找到最小元素,类似地,可以通过将每行的最后一个元素进行比较来找到最大元素。
- 然后,在我们的范围内从最小到最大使用二进制搜索,我们找到最小值和最大值的中间值,并获取小于我们的中间值的数字的数量。然后相应地更改最小值或最大值。
- 对于中位数来说,应该有(r * c) / 2个数字比该数字小。因此,对于每个数字,我们都要通过在矩阵的每行中使用upper_bound()获取该数字的少于所需数量的数字的计数,如果小于所需数量,则中位数必须大于所选数字,否则中位数必须小于或等于所选数字。
以下是上述方法的实现:
// C++ program to find median of a matrix
// sorted row wise
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX = 100;
// function to find median in the matrix
int binaryMedian(int m[][MAX], int r ,int c)
{
int min = INT_MAX, max = INT_MIN;
for (int i=0; i<r; i++)
{
// Finding the minimum element
if (m[i][0] < min)
min = m[i][0];
// Finding the maximum element
if (m[i][c-1] > max)
max = m[i][c-1];
}
int desired = (r * c + 1) / 2;
while (min < max)
{
int mid = min + (max - min) / 2;
int place = 0;
// Find count of elements smaller than mid
for (int i = 0; i < r; ++i)
place += upper_bound(m[i], m[i]+c, mid) - m[i];
if (place < desired)
min = mid + 1;
else
max = mid;
}
return min;
}
// driver program to check above functions
int main()
{
int r = 3, c = 3;
int m[][MAX]= { {1,3,5}, {2,6,9}, {3,6,9} };
cout << "Median is " << binaryMedian(m, r, c) << endl;
return 0;
}
输出:
Median is 5
时间复杂度 :O(32 * r * log(c))。 upper_bound函数将花费log(c)时间,并在每行中执行。由于数字将是32位的最大值,因此最多会在32个(log2(2 ^ 32)= 32)操作中执行从最小到最大的数字的二进制搜索。
辅助空间 :O(1)