R语言 t 分布

t分布 是一种概率分布，是在对正态分布的人口进行抽样时，当样本量较小且人口的标准差未知时产生的。它也被称为 “学生t分布”。它近似于钟形曲线，也就是说，它近似于正态分布，但在尾部附近有一个较低的峰值和更多的观测值。这意味着它比标准正态分布或z分布（平均值为0，标准差为1）给尾部的概率更高。

自由度 与样本大小有关，显示了在数据样本中可以自由变化的逻辑独立值的最大数量。它的计算方法是n-1，其中n是观察值的总数。例如，如果你在一个样本中有3个观察值，其中2个是10，15，而平均值被显示为15，那么第三个观察值必须是20。因此，在这种情况下，自由度是2（只有两个观察值可以自由变化）。自由度对t分布很重要，因为它描述了曲线的形状。也就是说，t分布中的方差是根据数据集的自由度来估计的。随着自由度的增加，t分布会越来越接近于与标准正态分布相匹配，直到它们收敛（几乎相同）。因此，标准正态分布可以用来代替大样本量的t分布。

t检验 是一种统计假设检验，用于确定两组之间是否存在明显的差异（差异以平均值衡量），并估计这种差异存在的可能性纯粹是偶然的（p值）。在t分布中，一个叫做 t分数 或t值的测试统计量，用来描述一个观察值离平均值有多远。t分数被用于t检验、回归检验和计算置信区间。

R语言的学生t分布

使用的函数

要找到给定随机变量x的学生t分布的概率密度函数（pdf）值，请使用R中的 dt() 函数。

语法：dt(x, df)

参数

x是量纲向量
df是自由度
pt() 函数用于获取t分布的累积分布函数（CDF）。

语法： pt(q, df, lower.tail = TRUE)

参数

q是量纲向量
df是自由度
lower.tail – 如果是TRUE（默认），概率为P[X≤x]，否则为P[X>x]。
qt() 函数用于获得t分布的量化函数或反累积密度函数。

语法： qt(p, df, lower.tail = TRUE)

参数

p是概率的向量
df是自由度
lower.tail – 如果是TRUE（默认），概率为P[X≤x]，否则为P[X>x]。

方法

设置自由度
要绘制学生t分布的密度函数，请按照给出的步骤进行。
- 首先，在R中创建一个量纲的向量。
- 接下来，使用dt函数找出随机变量x和一定自由度的t分布的值。
- 使用这些值绘制学生t分布的密度函数。
现在，用pt函数代替dt函数，以获得t分布的累积分布函数（CDF），用qt函数获得t分布的量化函数或反累积密度函数。简单地说，pt返回t分布中给定随机变量q左边的面积，qt找到t分布中p的四分位数的t分数。

例子： 要找到x=1时的t分布值，有一定的自由度，例如Df =25。

# value of t-distribution pdf at 
# x = 0 with 25 degrees of freedom
dt(x = 1, df = 25)

输出

0.237211

例子

下面的代码显示了具有不同自由度的概率密度函数的比较。如前所述，可以看到，样本量越大（自由度越大），图表越接近于正态分布（图中虚线）。

# Generate a vector of 100 values between -6 and 6
x <- seq(-6, 6, length = 100)
  
# Degrees of freedom
df = c(1,4,10,30)
colour = c("red", "orange", "green", "yellow","black")
  
# Plot a normal distribution
plot(x, dnorm(x), type = "l", lty = 2, xlab = "t-value", ylab = "Density", 
     main = "Comparison of t-distributions", col = "black")
  
# Add the t-distributions to the plot
for (i in 1:4){
  lines(x, dt(x, df[i]), col = colour[i])
}
  
# Add a legend
legend("topright", c("df = 1", "df = 4", "df = 10", "df = 30", "normal"), 
       col = colour, title = "t-distributions", lty = c(1,1,1,1,2))

输出

了解 R 中的 t 分布

例子： 用t分布寻找p值和置信区间

# area to the right of a t-statistic with 
# value of 2.1 and 14 degrees of freedom
pt(q = 2.1, df = 14, lower.tail = FALSE)

输出

0.02716657

基本上我们发现单边P值，P（t>2.1）为2.7%。现在假设我们想构建一个双侧的95%的置信区间。要做到这一点，请使用qt函数或量化分布找到95%置信度的t分数或t值。

例子

# value in each tail is 2.5% as confidence is 95%
# find 2.5th percentile of t-distribution with 
# 14 degrees of freedom
qt(p = 0.025, df = 14, lower.tail = TRUE)

输出