R语言 如何创建一个距离矩阵

距离矩阵 是一个包含数据集中每对元素之间距离的矩阵。在R编程语言中，有几个函数可用于创建距离矩阵，如 dist()、daisy()和vegdist() ，分别来自统计、集群和vegan包。

• 距离度量： 距离度量是一个定义数据集中两个元素之间距离的函数。常见的距离度量包括欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似度。
• 分类变量： 分类变量是指可以取有限数值之一的变量。在创建距离矩阵时，分类变量需要与数字变量不同的处理方式。
• 缺少的 数据： 缺少的数据是指在数据集中的某些元素无法获得的数据。当创建一个距离矩阵时，缺失数据需要与非缺失数据进行不同的处理。

欧氏距离矩阵

欧氏距离是对欧氏空间中两点之间直线距离的测量。欧氏距离的数学公式如下。

其中d(p, q)是两点p和q之间的欧氏距离，q1 , q2 , . . , qn 和p1 , p2 , . . ., pn 是两点在n维空间中的坐标。在二维空间中，两点（x1 , y1 ）和（x2 , y2 ）之间的欧氏距离可以用以下公式计算。

# Create a matrix of data
data <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
               nrow = 4, ncol = 2)
  
# Create an Euclidean distance matrix
euclidean_matrix <- dist(data)
  
# Print the distance matrix
print(euclidean_matrix)

输出

          1         2         3
2 2.8284271                
3 5.65685439 5.65685439        
4 8.48528137 8.48528137 8.48528137

这个输出是一个距离矩阵，其中i，j处的值是数据矩阵中第i行和第j行之间的欧氏距离。dist()函数默认计算欧氏距离，所以你不需要明确指定方法为 “euclidean”。

高尔距离矩阵

高尔距离是一种 ，可以用来比较具有混合类型属性（例如，分类和数字）的观察结果。在处理既有连续变量又有分类变量的数据集时，它经常被用于聚类和分类任务。

其中d(x, y)是观测值x和y之间的Gower距离，p是属性的数量，wi 是第i个 属性的权重，di (xi , yi )是第i个属性对距离的贡献。每个属性的贡献可以是不同的，取决于属性的类型。

# create a sample data frame with mixed data types
df <- data.frame(
  numeric_var = c(1,2,3,4),
  categorical_var = c("A", "B", "A", "C"),
  binary_var = c(0,1,0,1)
)
  
# calculate the mean and range of the numeric variable
mean_numeric_var <- mean(dfnumeric_var)
range_numeric_var <- range(dfnumeric_var)
  
# normalize the numeric variable
dfnumeric_var <- (dfnumeric_var - mean_numeric_var) / range_numeric_var
  
# convert categorical variable to binary
dfcategorical_var <- ifelse(dfcategorical_var == "A", 1, 0)
  
# convert binary variable to binary
dfbinary_var <- as.numeric(dfbinary_var)
  
# initialize the Gower distance matrix
gower_distance_matrix <- matrix(0, nrow = nrow(df),
                                ncol = nrow(df))
  
# calculate the Gower distance between each pair of rows
for (i in 1:nrow(df)) {
  for (j in 1:nrow(df)) {
    gower_distance_matrix[i,j] <- (
      abs(dfnumeric_var[i] - dfnumeric_var[j]) + 
      abs(dfcategorical_var[i] - dfcategorical_var[j]) + 
      abs(dfbinary_var[i] - dfbinary_var[j])
    ) / 3
  }
}
  
# output
print(gower_distance_matrix)

输出

          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 0.0000000 1.1250000 0.6666667 1.2916667
[2,] 1.1250000 0.0000000 0.8750000 0.1666667
[3,] 0.6666667 0.8750000 0.0000000 0.7083333
[4,] 1.2916667 0.1666667 0.7083333 0.0000000

在这个例子中，代码首先通过从每个值中减去变量的平均值，再除以变量的范围来对数字变量进行标准化。这有助于将所有的变量放在同一个尺度上进行比较。接下来，分类变量和二进制变量被转换为二进制形式，其中每个值要么是1，要么是0。这是对分类变量使用 “ifelse “语句，对二进制变量使用 “as.numeric “转换。

最后，每对行之间的高尔距离被计算出来并存储在一个矩阵中。该距离被计算为两行中每个变量之间绝对差异的平均值，除以变量的数量。得到的矩阵可以用来确定数据框中每对行之间的相似度。

雅卡德距离矩阵

雅卡德距离 ，也被称为雅卡德相似系数，是衡量两个集合之间相似性的 。它被广泛用于自然语言处理、信息检索和生物信息学等领域。雅卡德相似性系数的数学公式定义为：。

J(A,B) = |A ∩ B| / |A ∪ B|

其中J(A, B)是集合A和B之间的Jaccard相似系数，|A|和|B|是集合A和B的cardinality，|A∩B|是A和B的交集的cardinality。为了得到Jaccard的距离，我们需要用1减去Jaccard的相似度。

Jaccard Distance = 1 - Jaccard Similarity Coefficient

雅卡德距离是一个从0到1的度量，值为0表示集合是相同的，值为1表示集合没有共同的元素。

# create a sample data frame with mixed data types
df <- data.frame(
  numeric_var = c(1,2,3,4),
  categorical_var = c("A", "B", "A", "C"),
  binary_var = c(0,1,0,1)
)
  
# convert categorical variable to binary
dfcategorical_var <- ifelse(dfcategorical_var == "A", 1, 0)
  
# convert binary variable to binary
dfbinary_var <- as.numeric(dfbinary_var)
  
# calculate the Jaccard distance 
# matrix using the dist function
jaccard_distance_matrix <- dist(df,
                                method = "binary")
  
#Print the distance matrix
print(jaccard_distance_matrix)

输出

          1         2         3
2 0.6666667                    
3 0.0000000 0.6666667          
4 0.6666667 0.0000000 0.6666667

在这个例子中，代码将一个具有混合数据类型（数字、分类、二进制）的样本数据框转换为二进制格式，并使用dist函数计算Jaccard距离矩阵。分类变量和二进制变量分别使用ifelse和as.numeric函数转换为二进制。结果是Jaccard距离矩阵，它表示数据框中每一行之间的成对距离。该结果被打印出来，可用于进一步的分析或可视化。

曼哈顿距离矩阵

曼哈顿距离，也被称为L1距离，是衡量 欧几里得空间中两点之间的距离。它被计算为其坐标之间的绝对差异之和。与测量两点之间的 “直线 “距离的欧几里得距离不同，曼哈顿距离测量两点之间的距离，就像你在一个网格状的城市中导航一样，始终只在水平或垂直方向上移动，就像曼哈顿的出租车。

二维空间中两点（x1 , y1 ）和（x2 , y2 ）之间的曼哈顿距离的数学公式是：。

d(p,q) = |x 1 - x2| + |y1 - y2|

而对于n维空间来说，该公式为。

其中d(p, q)是两点p和q之间的曼哈顿距离，q(i)和p(i)是n维空间中的点的坐标。

# Create a matrix of data
data <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
               nrow = 4, ncol = 2)
  
# Create a Manhattan distance matrix
manhattan_matrix <- dist(data,
                         method = "manhattan")
  
# Print the distance matrix
print(manhattan_matrix)

输出

  1 2 3
2 2    
3 4 2  
4 6 4 2

堪培拉距离矩阵

堪培拉距离是衡量多维空间中两点之间 的差异性。它被定义为两点坐标之间的绝对差异之和除以其坐标之和，如下所示。

其中d(x,y)是两点x和y之间的堪培拉距离，n是空间中的维数。xi 和yi 是第 i个维度中两点的坐标。这种距离测量方法在处理序数或分类数据时特别有用，因为它对数据的尺度比其他距离测量方法（如欧氏距离）更不敏感。与曼哈顿距离等其他距离测量方法相比，堪培拉距离对异常值的存在也不太敏感。

# Create a matrix of data
data <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
               nrow = 4, ncol = 2)
  
# Create a Canberra distance matrix
canberra_matrix <- dist(data,
                        method = "canberra")
  
# Print the distance matrix
print(canberra_matrix)

输出

          1         2         3
2 0.4242424                    
3 0.6666667 0.2769231          
4 0.8307692 0.4761905 0.2095238