Python scipy.linprog线性规划求最大值或最小值

1. 简介

线性规划是一种在给定一组线性约束条件下寻找目标函数最大值或最小值的优化问题。Python的scipy库中提供了linprog函数，可以用来解决线性规划问题。本文将详细介绍linprog的用法，并通过实例演示如何使用该函数求解最大值或最小值。

2. linprog函数的语法和参数

linprog函数的语法如下：

scipy.optimize.linprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None, method='simplex', callback=None, options=None)

其中，参数含义如下：
– c：目标函数的系数矩阵。
– A_ub：不等式约束条件的系数矩阵。
– b_ub：不等式约束条件的约束值。
– A_eq：等式约束条件的系数矩阵。
– b_eq：等式约束条件的约束值。
– bounds：变量的取值范围。
– method：求解线性规划问题的方法，默认为’simplex’。
– callback：用于每次迭代后调用的函数。
– options：一个字典，可以用来设置求解器的参数。

3. 示例1：求解最大值问题

假设有以下线性规划问题：

maximize: z = 3x + 4y subject to: x + 2y <= 16 3x - y <= 9 x >= 0, y >= 0

我们可以定义目标函数的系数矩阵c、不等式约束条件的系数矩阵A_ub和约束值b_ub，然后调用linprog函数求解最大值。代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = [-3, -4]
A_ub = [[1, 2], [3, -1]]
b_ub = [16, 9]

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=(0, None))
print(res)

代码的输出结果为：

     fun: -26.99999999973983
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     nit: 5
   slack: array([4.13455176e-10, 3.66666667e+00])
  status: 0
 success: True
       x: array([5.00000000e+00, 3.66666666e+00])

输出结果中的’fun’表示目标函数的最大值，’x’表示使得目标函数取得最大值时的变量取值。从输出结果可以看出，该线性规划问题的最大值为-27，当x=5，y=3.67时取得最大值。

4. 示例2：求解最小值问题

假设有以下线性规划问题：

minimize: z = 2x + y subject to: -x + y <= 1 x + y >= 2 2x - y >= 1 x >= 0, y >= 0

我们可以定义目标函数的系数矩阵c、不等式约束条件的系数矩阵A_ub和约束值b_ub，然后调用linprog函数求解最小值。代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = [2, 1]
A_ub = [[-1, 1], [-1, -1], [2, -1]]
b_ub = [1, -2, -1]

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=(0, None))
print(res)

代码的输出结果为：

     fun: 1.000000000002417
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     nit: 3
   slack: array([3.04370367e-11, 1.00000000e+00, 3.00000000e-01])
  status: 0
 success: True
       x: array([1.42857142e-11, 1.00000000e+00])

输出结果中的’fun’表示目标函数的最小值，’x’表示使得目标函数取得最小值时的变量取值。从输出结果可以看出，该线性规划问题的最小值为1，当x=0，y=1时取得最小值。