Python水仙花数详解|极客教程

Python水仙花数详解

1. 什么是水仙花数？

水仙花数（Narcissistic number），也被称为自恋数、自幂数或阿姆斯特朗数，是指一个 n 位数 ( n≥3 )，其各个位上数字的 n 次幂之和等于该数本身。例如，153 就是一个水仙花数，因为 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

水仙花数最早出现在古代印度的一个神话故事中，故事中的水仙花只是像仙女一样美丽，而非数学意义上的水仙花数。这个概念首次引入数学中是在 20 世纪 50 年代，由数学家 D.R. Kaprekar 提出。

水仙花数是一个有趣的数学现象，它们的出现在数学中没有实际应用价值，可以说是靠好玩而存在。然而，通过研究水仙花数，我们可以掌握一些数学和编程技巧，进一步提高我们的解题能力和编程水平。

2. 寻找水仙花数

现在我们来编写一个程序来查找水仙花数。

def find_narcissistic_numbers(n):
    result = []
    for i in range(10**(n-1), 10**n):
        num = i
        digits = []
        while num > 0:
            digits.append(num % 10)
            num //= 10
        if i == sum(digit**n for digit in digits):
            result.append(i)
    return result

n = int(input("请输入数字的位数："))
narcissistic_numbers = find_narcissistic_numbers(n)
print("{}位数的水仙花数是：{}".format(n, narcissistic_numbers))

代码解读：

首先定义了一个函数 find_narcissistic_numbers，该函数接受一个参数 n，表示数字的位数。函数返回一个列表，包含所有 n 位数的水仙花数。
在主程序中，我们首先从用户输入获取数字的位数，并将其强制转换为整数。
接下来，调用 find_narcissistic_numbers 函数，传入位数 n，并将返回结果赋值给 narcissistic_numbers。
最后，我们使用 print 函数打印出结果。

如果我们运行程序并输入数字的位数为 3，程序将输出以下结果：

请输入数字的位数：3
3位数的水仙花数是：[153, 370, 371, 407]

3. Python 水仙花数的性质

水仙花数有一些有趣的性质。

3.1 水仙花数的上界

水仙花数的位数上界可以通过以下代码计算：

def upper_bound(n):
    return (n+2)**n

n = int(input("请输入水仙花数的位数："))
bound = upper_bound(n)
print("{}位数的水仙花数的上界是：{}".format(n, bound))

如果我们输入数字的位数为 3，程序将输出以下结果：

请输入水仙花数的位数：3
3位数的水仙花数的上界是：1377

3.2 最小的水仙花数

最小的水仙花数是 153，它是一个 3 位数。

3.3 水仙花数的个数

我们可以通过以下代码计算 n 位数的水仙花数的个数：

def count_narcissistic_numbers(n):
    return upper_bound(n) - upper_bound(n-1)

n = int(input("请输入水仙花数的位数："))
count = count_narcissistic_numbers(n)
print("{}位数的水仙花数的个数是：{}".format(n, count))

如果我们输入数字的位数为 3，程序将输出以下结果：

请输入水仙花数的位数：3
3位数的水仙花数的个数是：4

4. 进一步扩展

我们可以进一步扩展水仙花数的概念，寻找更复杂的数学现象。

4.1 变种水仙花数

变种水仙花数是指一个 n 位数，其各个位上数字的其他次幂之和等于该数本身。例如，371 是一个变种水仙花数，因为 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

我们可以修改之前的代码来寻找变种水仙花数：

def find_variant_narcissistic_numbers(n, power):
    result = []
    for i in range(10**(n-1), 10**n):
        num = i
        digits = []
        while num > 0:
            digits.append(num % 10)
            num //= 10
        if i == sum(digit**power for digit in digits):
            result.append(i)
    return result

n = int(input("请输入数字的位数："))
power = int(input("请输入的幂次："))
variant_narcissistic_numbers = find_variant_narcissistic_numbers(n, power)
print("{}位数的{}次幂水仙花数是：{}".format(n, power, variant_narcissistic_numbers))

如果我们输入数字的位数为 3，幂次为 2，程序将输出以下结果：

请输入数字的位数：3
请输入的幂次：2
3位数的2次幂水仙花数是：[13]

4.2 Armstrong 数

Armstrong 数是指一个 n 位数，其各个位上数字的立方和等于该数本身。例如，371 是一个 Armstrong 数，因为 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

我们可以修改之前的代码来寻找 Armstrong 数：

def find_armstrong_numbers(n):
    result = []
    for i in range(10**(n-1), 10**n):
        num = i
        digits = []
        while num > 0:
            digits.append(num % 10)
            num //= 10
        if i == sum(digit**3 for digit in digits):
            result.append(i)
    return result

n = int(input("请输入数字的位数："))
armstrong_numbers = find_armstrong_numbers(n)
print("{}位数的Armstrong数是：{}".format(n, armstrong_numbers))

如果我们输入数字的位数为 3，程序将输出以下结果：

请输入数字的位数：3
3位数的Armstrong数是：[153, 370, 371, 407]

5. 结论

通过上述分析，我们学习了 Python 中水仙花数的概念及求解方法。我们还研究了水仙花数的一些性质和扩展应用，包括寻找水仙花数的上界、最小水仙花数、水仙花数的个数，以及进一步扩展到变种水仙花数和 Armstrong 数。通过编写程序，我们可以方便地寻找指定位数的水仙花数，并且可以探索其他类似的数学现象。

尽管水仙花数在数学中没有实际应用的价值，但通过学习和研究这些现象，我们可以提高我们的编程能力和数学思维。此外，水仙花数也给我们带来了一些乐趣和好奇心，使我们对数字的性质更加感兴趣。