Python实现逻辑回归

引言
逻辑回归是一种常用的分类算法,它用于预测二分类问题。在本文中,我们将使用Python来实现逻辑回归算法,并对算法进行详细解释。逻辑回归是一种线性分类器,它使用sigmoid函数将连续的预测值转换为概率值,从而进行分类。
数据准备
在开始实现逻辑回归算法之前,我们首先需要准备我们的数据集。在这个例子中,我们将使用一个虚构的数据集,其中包含两个特征x和y,以及一个二进制的分类标签。
运行上述代码后,我们将得到如下图所示的散点图,其中蓝色点表示类别0,红色点表示类别1。
Sigmoid函数
逻辑回归的核心思想是使用sigmoid函数将预测值转换为概率值。Sigmoid函数定义如下:
σ(x)=1+e−x1
Sigmod函数的输入为任意实数值,输出范围在0到1之间。当输入接近正无穷大时,sigmoid函数的值接近1;当输入接近负无穷大时,sigmoid函数的值接近0。
在Python中,我们可以使用numpy
库的exp
函数来实现sigmoid函数:
损失函数
在训练逻辑回归模型时,我们需要定义一个损失函数,用于衡量预测值和真实值之间的差距。逻辑回归使用的损失函数被称为对数损失函数(log loss),定义如下:
J(θ)=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1–y(i))log(1–hθ(x(i)))]
其中,m是训练样本的数量,hθ(x)是逻辑回归的预测函数。对于逻辑回归,预测函数定义如下:
hθ(x)=σ(θTx)
在上述公式中,y(i)是第i个训练样本的真实标签。如果y(i)=1,则第一项y(i)log(hθ(x(i)))对损失函数的贡献为log(hθ(x(i)));如果y(i)=0,则第二项(1–y(i))log(1–hθ(x(i)))对损失函数的贡献为log(1–hθ(x(i)))。我们的目标是最小化损失函数J(θ)。
在Python中,我们可以轻松地实现对数损失函数:
梯度下降法
为了最小化损失函数,我们需要使用梯度下降法。梯度下降法是一种迭代的优化算法,通过沿着负梯度方向更新模型参数来逐步接近最优解。
在逻辑回归中,模型参数是θ,我们可以使用梯度下降法来不断更新θ。
逻辑回归的梯度下降算法的更新规则如下:
θj:=θj–α∂θj∂J(θ)
其中,α是学习率,控制更新的步长。
为了使梯度下降法收敛,我们需要计算损失函数J(θ)对参数θj的偏导数∂θj∂J(θ)。这个偏导数的计算比较复杂,但我们可以通过求解偏导数的推导过程,得到如下公式:
∂θj∂J(θ)=m1i=1∑m(hθ(x(i))–y(i))xj(i)
该公式表示,在梯度下降的每一次迭代中,我们需要计算每个特征的加权和(hθ(x(i))–y(i))xj(i),并求平均值。
在实际实现中,我们将使用向量化的方法来加速运算: