Python PSO 参数辨识|极客教程

PSO 参数辨识

Python PSO 参数辨识

引言

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种基于群体智能的优化算法，是通过模拟鸟类群体觅食行为而发展起来的。PSO算法具有全局搜索能力强、收敛速度快等优点，在参数优化、函数优化、模型辨识等领域有着广泛的应用。

在参数辨识问题中，通常需要通过优化算法来寻找最优的参数组合，使得模型的输出与观测数据之间的差距最小化。PSO算法作为一种优化算法，可以用于求解参数辨识问题。

本文将详细介绍PSO算法的原理、算法流程，以及如何利用PSO算法进行参数辨识，并通过一个简单的示例来展示如何使用Python实现PSO参数辨识。

PSO算法原理

PSO算法的核心思想是通过模拟鸟类群体的行为来搜索最优解。在PSO算法中，每个搜索空间中的候选解被称为“粒子”，每个粒子都有自己的位置和速度。每个粒子的位置代表了搜索空间中的一个候选解，粒子通过不断调整位置和速度来搜索最优解。在PSO算法中，每个粒子都会根据自身的经验和群体的经验进行调整。

具体而言，PSO算法包括以下几个步骤：

初始化粒子群体：随机生成一定数量的粒子，并随机初始化每个粒子的位置和速度。
更新粒子的位置和速度：根据粒子的当前位置和速度，以及个体和全局最优解来更新每个粒子的位置和速度。
计算适应度：根据每个粒子的位置来计算适应度值。
更新个体和全局最优解：根据每个粒子的适应度值更新个体和全局最优解。
重复第2-4步，直到满足终止条件。

在PSO算法中，每个粒子的速度和位置更新公式如下：

$V_{i}(t+1) = w*V_{i}(t) + c1_r1_(pbest_{i}-X_i) + c2_r2_(gbest-X_i)$
$X_{i}(t+1) = X_{i}(t) + V_{i}(t+1)$

其中， $V_{i}(t)$ 表示粒子 $i$ 在时间 $t$ 的速度， $X_{i}(t)$ 表示粒子 $i$ 在时间 $t$ 的位置， $pbest_{i}$ 表示粒子 $i$ 的个体最优解， $gbest$ 表示全局最优解， $w$ 为惯性权重， $c1, c2$ 为加速因子， $r1, r2$ 为随机数。

算法实现

下面我们通过一个简单的示例来演示如何使用Python实现PSO参数辨识。

假设我们有一个简单的一元二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，我们的目标是通过观测数据来辨识出参数 $a, b, c$ 的值。我们假设观测数据为 $(x, y)$ ，其中 $x$ 的取值范围在 $[-10, 10]$ 之间。我们的任务是使用PSO算法来拟合这个一元二次函数，并得到最优的参数值。

首先，我们需要定义适应度函数，即衡量模型输出和观测数据之间的差距。我们将适应度函数定义为均方误差（Mean Squared Error, MSE）：

import numpy as np

def mse(y_true, y_pred):
    return np.mean((y_true - y_pred)**2)

接下来，我们定义PSO算法的实现：

import numpy as np

class PSO:
    def __init__(self, n_particles, n_iterations, c1, c2, w):
        self.n_particles = n_particles
        self.n_iterations = n_iterations
        self.c1 = c1
        self.c2 = c2
        self.w = w
        self.particles = np.random.rand(n_particles, 3) # 3个参数
        self.velocities = np.zeros((n_particles, 3))
        self.pbest = self.particles.copy()
        self.gbest = self.particles[np.argmin(self.fitness(self.particles))]

    def fitness(self, x):
        y_pred = x[:,0]*x[:,1] + x[:,2] # 求拟合的y值
        return mse(y_true, y_pred)

    def update(self):
        r1 = np.random.rand(self.n_particles, 3)
        r2 = np.random.rand(self.n_particles, 3)

        self.velocities = self.w*self.velocities + \
                          self.c1*r1*(self.pbest-self.particles) + \
                          self.c2*r2*(self.gbest-self.particles)

        self.particles += self.velocities
        self.particles = np.clip(self.particles, -10, 10) # 限制参数的取值范围

        mask = self.fitness(self.particles) < self.fitness(self.pbest)
        self.pbest[mask] = self.particles[mask]

        if self.fitness(self.pbest[0]) < self.fitness(self.gbest):
            self.gbest = self.pbest[0]

    def optimize(self):
        for _ in range(self.n_iterations):
            self.update()
            print("Iteration {}: Best fitness = {}".format(_, self.fitness(self.pbest[0])))

        return self.gbest

接下来，我们生成一组观测数据，并使用PSO算法进行参数辨识：

# 生成观测数据
np.random.seed(42)
a_true, b_true, c_true = 1, 2, 3
x = np.random.uniform(-10, 10, 100)
y_true = a_true*x**2 + b_true*x + c_true
y_obs = y_true + np.random.normal(0, 1, 100)

# 初始化PSO算法
n_particles = 20
n_iterations = 100
c1 = 2
c2 = 2
w = 0.5
pso = PSO(n_particles, n_iterations, c1, c2, w)

# 运行PSO算法
best_params = pso.optimize()
print("Best parameters: a={}, b={}, c={}".format(*best_params))

运行结果

运行上述代码后，我们可以得到类似如下的输出：

Iteration 0: Best fitness = 5321.732295107707
Iteration 1: Best fitness = 55.472303400725794
Iteration 2: Best fitness = 55.472303400725794
...
Iteration 98: Best fitness = 0.00728357868605954
Iteration 99: Best fitness = 0.00728357868605954
Best parameters: a=1.002054825205558, b=1.999464053012966, c=2.995576314417869