Numpy 三维多项式拟合

在本文中，我们将介绍如何使用 Numpy 的 np.polyfit 函数进行三维多项式拟合。多项式拟合是一种数据分析和拟合方法，它能够通过拟合一些数据点来找到一个符合这些点的多项式函数。

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多项式拟合

多项式拟合是一种使用多项式函数来逼近一些离散点数据的方法。假设我们有一些数据点 (x, y)，我们希望找到一个多项式函数，使得它和这些数据点的误差最小。这个多项式函数可以表示成以下形式：

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + an*x^n,

其中，a0, a1, …, an 是多项式的系数，n 是多项式的次数。当 n 等于 1 时，我们得到一个一次函数，也就是直线。当 n 等于 2 时，我们得到一个二次函数，也就是抛物线。当 n 更大时，我们得到的函数更加复杂。

np.polyfit 函数

Numpy 提供了一个 np.polyfit 函数，可以使用最小二乘法来拟合一个多项式函数。np.polyfit 函数的定义如下：

np.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

其中，x 和 y 是数据点的 x 和 y 坐标，deg 是拟合的多项式次数。

我们可以通过以下代码来演示 np.polyfit 函数的用法：

import numpy as np

# 假设我们有以下数据点
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# 用 np.polyfit 拟合一次函数
coefficients = np.polyfit(x, y, 1)

# 输出拟合的系数
print(coefficients)

输出结果是： [ 1. 0.]。这意味着我们得到了一个一次函数 y = 1*x + 0，也就是 y = x。

现在，让我们来看一个三维多项式拟合的例子。

三维多项式拟合

假设我们有一个三维坐标的数据集，如下图所示。这个数据集可以看成是一个三维曲面。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 随机生成一些三维数据
x = np.random.normal(size=100)
y = np.random.normal(size=100)
z = x**2 + y**2 + np.random.normal(size=100)

# 绘制三维散点图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(x, y, z)
plt.show()

现在，我们想要用一个二次函数来拟合这个数据集。我们可以使用 np.polyfit 函数来实现。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 随机生成一些三维数据
x = np.random.normal(size=100)
y = np.random.normal(size=100)
z = x**2 + y**2 + np.random.normal(size=100)

# 使用 np.polyfit 拟合一个二次函数
coefficients = np.polyfit([x, y], z, 2)

# 创建一个网格来显示拟合曲面
x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 20), np.linspace(-3, 3, 20))
z_fit = np.polyval(coefficients, [x_grid, y_grid])

# 绘制原始散点图和拟合曲面
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(x, y, z)
ax.plot_surface(x_grid, y_grid, z_fit, alpha=0.5)
plt.show()