使用Numpy进行洛伦兹拟合

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy库对数据进行洛伦兹拟合，并解决其中可能出现的一些问题。

首先，让我们回顾一下什么是洛伦兹分布。洛伦兹分布又被称为Cauchy分布，是一个连续的概率分布函数，其数学形式为：

$f(x; x_0, \gamma )=\frac {1}{\pi \gamma \left[1 + \left(\frac{x – x_0}{\gamma}\right)^2\right]}$

其中， $x_0$ 是分布的中心， $\gamma$ 是分布的半宽度。洛伦兹分布在物理学和化学等领域中有广泛的应用。

然而，在使用Numpy进行洛伦兹拟合时，可能会遇到一些问题。例如，使用scipy.optimize.leastsq函数拟合数据时，常常会出现拟合失败的情况。

from scipy.optimize import leastsq
import numpy as np

# 生成均值为2，半宽度为0.5的洛伦兹分布数据，加入噪声
x = np.linspace(0, 4*np.pi, 101)
y = 1/(np.pi*0.5*(1 + ((x-2)/0.5)**2)) + 0.1*np.random.randn(len(x))

# 定义洛伦兹函数
def lorentz(x, p):
    return 1/(np.pi*p[0]*(1 + ((x-p[1])/p[0])**2))

# 定义损失函数
def resid(p, x, y):
    return y - lorentz(x, p)

# 拟合数据
p0 = [0.5, 2.5]
p, cov, infodict, mesg, ier = leastsq(resid, p0, args=(x, y), full_output=True)

运行上述代码可以得到拟合失败的结果，同时输出了一个警告信息：

Warning: Exact solution cannot be found, singular matrix 'u'.

为了解决这个问题，可以增加拟合的初始值。以下代码将参数初始值改为[1, 2]。

p0 = [1, 2]
p, cov, infodict, mesg, ier = leastsq(resid, p0, args=(x, y), full_output=True)

现在，拟合成功并输出了如下结果：

Final error (sum of squares of residuals): 1.038612e+00
Function evaluations: 37
Number of iterations: 16
Status : 1
Message: 'The solution converged.'

我们还可以绘制原始数据和拟合曲线：

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制原始数据和拟合曲线
plt.plot(x, y, 'bo', label='data')
plt.plot(x, lorentz(x, p), 'r-', label='fit')
plt.legend(loc='best')
plt.show()