Numpy低通滤波器及其Python实现

在本文中，我们将介绍Numpy低通滤波器在时间变化截止频率方面的应用，以及如何使用Python进行实现。低通滤波器是数字信号处理中最常用的滤波器之一，可以用于滤除高频噪声信号，保留低频信号的滤波操作。常见的低通滤波器有Butterworth、Chebyshev、Elliptic等类型，而Numpy库中提供了一种基于IIR滤波器的Butterworth低通滤波器，可以方便地应用于信号处理领域。

阅读更多：Numpy 教程

Butterworth低通滤波器及其特点

Butterworth低通滤波器是一种IIR滤波器，具有以下特点：
– 在通带区间内，滤波器的增益近似为1，具有平坦的通带特性；
– 在截止频率处，滤波器的增益下降速率最为平缓，与其他类型低通滤波器相比具有更加自然的过渡特性；
– 滤波器的降低速度与滤波器阶数有关，阶数越高，降低速度越快。

使用Numpy库中的butter函数可以定义Butterworth低通滤波器，函数定义如下：

def butter(N, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None):
    """
    Given the order N, cutoff frequency Wn, build a low-pass, high-pass,
    band-pass, or band-stop Butterworth filter.
    ...
    """

其中，N即为滤波器的阶数，Wn为截止频率，btype为滤波器类型（低通、高通、带通、带阻），fs为采样频率。函数的返回值可以是b、a系数或者零极点坐标。

时间变化截止频率低通滤波器的实现

在实际应用中，信号的特性往往会随着时间发生变化，因此实现时间变化截止频率的低通滤波器有其重要性。具体实现过程如下：
1. 定义信号的截止频率随时间变化的函数，例如：

def cutoff_freq(t):
    f1 = 0.1
    f2 = 0.5
    return f1 + (f2-f1)*(1-np.exp(-0.2*t))

该函数定义了截止频率在 $t=0$ 时为 $f_1=0.1$ ，随着时间的增加逐渐上升至 $f_2=0.5$ 的变化过程，可根据实际情况自行定义。

确定信号的采样频率和采样周期，例如：

fs = 100  # 采样频率
dt = 1/fs  # 采样周期

计算滤波器的阶数，可根据经验公式进行计算：

N = int(np.ceil(4/dt))

其中， $4/dt$ 为经验公式，可根据实际情况调整。

计算信号的时间长度和采样点数：

T = 10  # 时间长度
Nt = int(T/dt)  # 采样点数

生成信号，例如一个由两个正弦波组合的信号：

t = np.linspace(0, T, Nt)
x = 6*np.sin(2*np.pi* np.ones(Nt)) + 3*np.sin(10*np.pi*t)

其中，信号包含频率为2Hz和10Hz的两个正弦波，系数分别为6和3。

计算滤波器的系数：

fc = np.zeros(Nt)  # 截止频率
for i in range(Nt):
    fc[i] = cutoff_freq(t[i])
b, a = signal.butter(N, fc, btype='low', analog=False, output='ba', fs=fs)

在此过程中，通过循环生成时间变化的截止频率数组，然后调用butter函数计算出对应的滤波器系数。

应用滤波器：

y = signal.filtfilt(b, a, x)

在此过程中，使用filtfilt函数对信号进行滤波，保证滤波后信号的相位不发生偏移。

将滤波前后的信号进行可视化，可以得到以下结果：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, y)
plt.title('Filtered Signal')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()