Numpy 高效计算Python中的n-body引力

在物理学中，n-body问题指的是描述许多质点之间相互作用的问题。其中引力作用是最普遍的相互作用之一。在计算机科学中，我们可以通过模拟n-body引力来模拟星球、行星或者其他物体之间的引力作用。

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy库来高效地计算Python中的n-body引力。Numpy库是使用Python进行科学计算的一个强大的工具。在n-body问题中，我们可以利用Numpy的向量化计算和广播机制来显著提高计算效率。

阅读更多：Numpy 教程

引力公式

在开始之前，让我们先复习一下引力公式。我们可以使用牛顿万有引力定律来计算引力：

$F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$

其中， $F$ 是引力， $G$ 是万有引力常数， $m_1$ 和 $m_2$ 是两个相互作用的物体的质量， $r$ 是它们之间的距离。这意味着，如果两个物体的质量越大或者它们之间的距离越小，引力也将越大。

Numpy数组

在开始高效计算n-body引力之前，让我们先简单介绍Numpy数组。在Python中，列表是常用的数据结构之一。但是，当我们需要处理大量的数据时，列表运算可能会变得非常慢。

Numpy数组是一种用于Python科学计算的高效数据结构。它和Python列表类似，但是有一些特定的优点。Numpy数组是N维数组，其中每个元素的类型是相同的。它们用于为不规则数据创建并操纵数组，例如图像和声音。Numpy数组可以通过广播机制进行计算，因此它们非常适合用于n-body计算中。

以下是一个简单的例子，展示了使用Numpy数组进行一些基本的操作：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([5, 6, 7, 8])

# 数组的加法
c = a + b
print(c)  # [6 8 10 12]

# 数组的乘法
d = a * b
print(d)  # [ 5 12 21 32]

# 数组的平方
e = a ** 2
print(e)  # [ 1  4  9 16]

生成粒子

在n-body问题中，我们需要随机生成大量的粒子。以下是一个简单的生成粒子的函数，我们可以使用它来创建一个具有N个随机粒子的数组：

def generate_particles(N):
    # 生成随机质量和位置的粒子
    m = np.random.rand(N)
    x = np.random.rand(N)
    y = np.random.rand(N)
    z = np.random.rand(N)

    # 将所有粒子组合到一个Nx4的矩阵中
    return np.column_stack((m, x, y, z))

生成的粒子数组包含N个粒子的质量和位置。每个粒子都用一个四元组表示，其中第一个元素表示质量，后面三个元素表示位置。

计算引力

现在我们可以根据生成的粒子数组来计算引力了。假设我们有两个具有质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的粒子，它们之间的距离是 $r_{12}$ 。我们可以使用上面提到的万有引力公式来计算它们之间的引力：

def calculate_force(particles, G=6.67408e-11):
    # 获取粒子总数及其属性
    N, D = particles.shape

    # 创建一个零数组，用于保存加速度
    acceleration = np.zeros((N, D - 1), dtype=np.float32)

    # 对于每一个粒子，计算与其他粒子之间的引力
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            if i != j:
                # 计算质量和位置之间的距离
                r = particles[j, 1:] - particles[i, 1:]
                d = np.linalg.norm(r)

                # 计算引力大小
                F = G * particles[i, 0] * particles[j, 0] / d ** 2

                # 计算加速度大小
                a = F / particles[i, 0]

                # 根据加速度方向来计算加速度向量
                acceleration[i] += a * r / d

    return acceleration

该函数基于两个嵌套的循环，在每次循环中计算两个不同粒子之间的引力，并计算一个加速度向量。该函数将返回一个Nx3的数组，该数组包含每个粒子的加速度向量。

广播机制

该计算引力函数中使用了一个嵌套的循环来计算每个粒子之间的引力。这一部分代码比较复杂，并且会随着粒子数量增加而变得非常慢。此时，Numpy的广播机制可以将嵌套循环转换为一组Numpy公式。

广播机制是指Numpy自动在两个矩阵之间进行元素级别的操作，而无需明确循环每个元素。这节省了时间和内存，并使代码更易于阅读和编写。

在n-body问题中，广播机制可以将计算引力的嵌套循环转换为一组Numpy公式。以下是一个示例实现：

def calculate_force_vectorized(particles, G=6.67408e-11):
    # 获取粒子总数及其属性
    N, D = particles.shape

    # 重复粒子数组，使其在两个维度上具有相同的形状
    p = np.repeat(particles[:, 1:], N, axis=0)

    # 重复每个粒子的质量，使其具有相同的形状
    m = np.repeat(particles[:, 0], N)

    # 计算质量和位置之间的距离
    r = p - np.tile(particles[:, 1:], (N, 1))
    d = np.linalg.norm(r, axis=1)

    # 计算引力大小并重塑
    F = G * np.tile(m, N) / (d ** 2)
    F = F.reshape(N, N)
    np.fill_diagonal(F, 0)

    # 计算加速度向量并求和
    a = F[:, :, np.newaxis] * r / d[:, np.newaxis, np.newaxis]
    a = np.sum(a, axis=0)

    return a

该函数将需要计算引力的粒子重复为一个Nx3的数组，并复制每个粒子的质量。然后，它计算每一对粒子之间的距离，计算引力大小，并使用Numpy的tile函数将结果重塑为一个NxN的矩阵。最后，该函数计算加速度向量并将其求和，以获得每个粒子的总加速度向量。