Numpy中的内置函数：计算协方差

在本文中，我们将介绍Numpy中的一个重要的内置函数：协方差函数。从中我们可以了解到什么是协方差的概念，以及如何使用Numpy中的函数计算数据的协方差。

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简介

在数据分析领域，协方差是一个非常重要的概念。它衡量了两个变量之间的关系，具体地说，它可以告诉我们这两个变量的变化是否是同步的。

协方差的计算公式如下：

$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

其中， $E(X)$ 表示 $X$ 的均值， $E(Y)$ 表示 $Y$ 的均值， $E(XY)$ 表示 $XY$ 的均值。

如果协方差的值为正，说明这两个变量之间存在正相关关系；如果协方差的值为负，则说明它们之间呈负相关；如果协方差的值为0，则说明它们之间不存在线性关系。

Numpy中的协方差函数

Numpy中提供了一个方便的函数用于计算协方差，即numpy.cov()函数。这个函数可以用来计算一个矩阵的协方差矩阵。

下面是这个函数的语法：

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None)

这里，参数m是一个数组，表示输入的数据。参数y表示第二个数据集，如果指定了这个参数，那么函数将计算两个数据集之间的协方差矩阵。参数rowvar表示是否将每一行当作一个变量，默认值是True。参数bias表示是否偏移样本方差的计算，默认值是False。参数ddof表示自由度的数量，如果指定了此参数，将减少方差的自由度。参数fweights和aweights分别表示一个一维权重数组，用于指定在计算方差时，每一个元素所使用的权重。

接下来，我们使用几个例子来说明如何使用这个函数。

假设有一个3×4的数组X，表示3个人在4个项目上的得分，我们可以使用numpy.cov()函数计算这些得分之间的协方差，如下所示：

import numpy as np

X = np.array([[1, 2, 3, 4],
              [5, 6, 7, 8],
              [9, 10, 11, 12]])

covariance_matrix = np.cov(X)
print(covariance_matrix)

输出结果为：

[[ 1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667]]

可以看到，函数返回了一个4×4的协方差矩阵。其中，对角线上的元素为每一个变量的方差，非对角线上的元素为协方差。

现在，假设我们有两个数据集X和Y，它们的形状分别为3×4和2×4，我们可以计算这两个数据集之间的协方差矩阵，如下所示：

X = np.array([[1, 2, 3, 4],
              [5, 6, 7, 8],
              [9, 10, 11, 12]])

Y = np.array([[13, 14, 15, 16],
              [17, 18, 19, 20]])

covariance_matrix = np.cov(X, Y)
print(covariance_matrix)

输出结果为：

[[ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]
 [ 1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667  1.66666667]]

结果是一个6×6的协方差矩阵，其中前3×3块表示X的协方差矩阵，后3×3块表示Y的协方差矩阵，中间的2×2块表示X和Y之间的协方差矩阵。