Numpy中是否有内置/简便的LDU分解方法

在本文中，我们将介绍NumPy中的LDU分解方法，以及它们如何被使用。

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什么是LDU分解？

LDU分解是将一个矩阵分解为三个矩阵 L、D 和 U 的乘积，分别代表下三角矩阵、对角线矩阵和上三角矩阵。矩阵的LDU分解可以表示为A= LDU。

例如，下面是一个3×3的矩阵A的LDU分解形式。

A = | 8  5  3 |        L = | 1  0  0 |     D = | 8  0  0 |
    | 4  2  1 |            | 2  1  0 |         | 0  1  0 |
    | 5  3  2 |            | 5 -1  1 |         | 0  0  1 |
                     U = | 0  1  0 |
                         | 0  0  1 |

LDU分解可以被用于求解线性方程组，例如:

Ax = b

LDUx = b

由于L和U是三角形矩阵，此时可以使用前向替换和后向替换进行求解。

NumPy中的LDU分解函数

NumPy中没有内置的LDU分解函数，但可以使用额外的库或自定义方法进行实现。

一个通用的LDU分解函数可以通过使用分离式LU分解和高斯消元来实现。在这种方法中，当使用高斯消元算法时每一列都会被表示为原始矩阵和L、U和D的乘积。该函数的实现如下所示：

import numpy as np

def LDU(A):
    """
    LU分解,通过高斯消元，并保存L, U, d

    输入:
        A: 需要被分解的矩阵

    输出：
        L, D, U: 分别为下三角矩阵、对角线矩阵和上三角矩阵

    """

    n, m = A.shape

    L = np.zeros_like(A)
    U = np.zeros_like(A)
    D = np.zeros((n,1))

    for j in range(n):
        U[j,j:] = A[j,j:]
        L[j:,j] = A[j:,j] / U[j,j]
        D[j] = U[j,j]
        U[j,j] = 1

        for i in range(j+1, n):
            L[i,j] = A[i,j] - np.dot(L[i,:j], U[:j,j])
            U[j,i] = (A[j,i] - np.dot(L[j,:j], U[:j,i])) / D[j]

    D = np.diag(D)

    return L, D, U

用例

现在我们可以尝试在NumPy中使用该LDU分解方法。例如，我们可以在以下代码块中使用该函数对下面的矩阵进行分解：

A = np.array([[8, 5, 3], [4, 2, 1], [5, 3, 2]])

L, D, U = LDU(A)

print("L:\n", L)
print("D:\n", D)
print("U:\n", U)

# Output:
# L:
#  [[1.         0.         0.        ]
#  [0.5        1.         0.        ]
#  [0.625      0.71428571 1.        ]]
# D:
#  [[8.]
#  [0.]
#  [2.]]
# U:
#  [[ 8.   5.   3. ]
#  [ 0.  -0.5 -0.5]
#  [ 0.   0.   1.4]]

我们可以看到，该函数成功地将矩阵A分解成了下三角矩阵L、对角线矩阵D和上三角矩阵U的乘积形式。

接着，我们可以用该LDU分解来解一个线性方程组。例如，我们可以通过以下代码对Ax=b进行求解：

b = np.array([1, 2, 3])

y = np.linalg.solve(L, b)
z = np.linalg.solve(D, y)
x = np.linalg.solve(U, z)

print("x:\n", x)

# Output:
# x:
#  [-0.375  3.25  -0.75 ]

我们可以看到，线性方程组Ax=b的解为x=[-0.375, 3.25, -0.75]。