NumPy 两点距离|极客教程

NumPy 两点距离

在数据分析和机器学习领域，计算两点之间的距离是一个常见的需求。在Python中，使用NumPy库可以方便地进行这种计算。本文将详细介绍如何使用NumPy计算两点之间的距离，包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。

1. 欧氏距离

欧氏距离是最常见的距离度量方法，也是我们最熟悉的距离概念。在二维空间中，两点之间的欧氏距离可以表示为：

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

在NumPy中，可以使用numpy.linalg.norm函数来计算欧氏距离。下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个点的坐标
point1 = np.array([1, 2])
point2 = np.array([4, 6])

# 计算欧氏距离
distance = np.linalg.norm(point2 - point1)
print("欧氏距离为:", distance)

Output:

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2. 曼哈顿距离

曼哈顿距离又称为城市街区距离，是两点在坐标系上沿着网格线移动的距离之和。在二维空间中，两点之间的曼哈顿距离可以表示为：

$d = |x_2 – x_1| + |y_2 – y_1|$

在NumPy中，可以使用numpy.abs函数来计算绝对值，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个点的坐标
point1 = np.array([1, 2])
point2 = np.array([4, 6])

# 计算曼哈顿距离
distance = np.sum(np.abs(point2 - point1))
print("曼哈顿距离为:", distance)

Output:

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3. 切比雪夫距离

切比雪夫距离是两点在坐标系上各个坐标数值差的最大值。在二维空间中，两点之间的切比雪夫距离可以表示为：

$d = \max(|x_2 – x_1|, |y_2 – y_1|)$

在NumPy中，可以使用numpy.max函数来计算最大值，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个点的坐标
point1 = np.array([1, 2])
point2 = np.array([4, 6])

# 计算切比雪夫距离
distance = np.max(np.abs(point2 - point1))
print("切比雪夫距离为:", distance)

Output:

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4. 闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离是欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离的一般化。在二维空间中，两点之间的闵可夫斯基距离可以表示为：

$d = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_{2i} – x_{1i}|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

其中 $p$ 为参数，当 $p=1$ 时，为曼哈顿距离；当 $p=2$ 时，为欧氏距离；当 $p=\infty$ 时，为切比雪夫距离。在NumPy中，可以使用numpy.power函数来计算幂次方，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个点的坐标
point1 = np.array([1, 2])
point2 = np.array([4, 6])

# 计算闵可夫斯基距离
p = 2
distance = np.power(np.sum(np.power(np.abs(point2 - point1), p)), 1/p)
print("闵可夫斯基距离为:", distance)

Output:

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5. 汉明距离

汉明距离是用来衡量两个等长字符串之间的不同位数的个数。在二进制字符串中，两个字符串之间的汉明距离可以表示为：

$d = \sum_{i=1}^{n} (x_i \neq y_i)$

其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示两个字符串的第 $i$ 位。在NumPy中，可以使用numpy.sum函数来计算不同位数的个数，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个二进制字符串
str1 = np.array([1, 0, 1, 1, 0])
str2 = np.array([0, 1, 1, 1, 0])

# 计算汉明距离
distance = np.sum(str1 != str2)
print("汉明距离为:", distance)

Output:

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6. 余弦相似度

余弦相似度是用来衡量两个向量方向的相似程度。在二维空间中，两个向量之间的余弦相似度可以表示为：

$\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|}$

其中 $A \cdot B$ 表示向量 $A$ 和 $B$ 的点积， $|A|$ 表示向量 $A$ 的模。在NumPy中，可以使用numpy.dot函数来计算点积，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个向量
vector1 = np.array([1, 2])
vector2 = np.array([2, 3])

# 计算余弦相似度
cosine_sim = np.dot(vector1, vector2) / (np.linalg.norm(vector1) * np.linalg.norm(vector2))
print("余弦相似度为:", cosine_sim)

Output:

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7. Jaccard相似度

Jaccard相似度是用来衡量两个集合的相似程度。在集合论中，两个集合之间的Jaccard相似度可以表示为：

$J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$

其中 $|A \cap B|$ 表示集合 $A$ 和 $B$ 的交集的元素个数， $|A \cup B|$ 表示集合 $A$ 和 $B$ 的并集的元素个数。在NumPy中，可以使用numpy.intersect1d函数和numpy.union1d函数来计算交集和并集，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个集合
set1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
set2 = np.array([3, 4, 5, 6, 7])

# 计算Jaccard相似度
jaccard_sim = len(np.intersect1d(set1, set2)) / len(np.union1d(set1, set2))
print("Jaccard相似度为:", jaccard_sim)

Output:

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8. 编辑距离

编辑距离是用来衡量两个字符串之间的相似程度，即通过插入、删除、替换等操作将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数。在动态规划中，可以使用Levenshtein距离来计算编辑距离。在NumPy中，可以使用numpy.zeros函数创建一个二维数组来存储编辑距离的中间结果，下面是一个示例代码：

import numpy as np

def edit_distance(str1, str2):
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = np.zeros((m+1, n+1))

    for i in range(m+1):
        dp[i][0] = i

    for j in range(n+1):
        dp[0][j] = j

    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if str1[i-1] == str2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

    return dp[m][n]

str1 = "geek-docs"
str2 = "geekdocs"
distance = edit_distance(str1, str2)
print("编辑距离为:", distance)

Output:

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9. 马氏距离

马氏距离是用来衡量多维数据之间的相似程度，考虑了各个维度之间的相关性。在多维空间中，两个向量之间的马氏距离可以表示为：

$d = \sqrt{(x – y)^T S^{-1} (x – y)}$

其中 $x$ 和 $y$ 分别表示两个向量， $S$ 表示协方差矩阵。在NumPy中，可以使用numpy.cov函数来计算协方差矩阵，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义两个向量
vector1 = np.array([1, 2, 3])
vector2 = np.array([4, 5, 6])

# 计算马氏距离
cov_matrix = np.cov(np.vstack((vector1, vector2)))
inv_cov_matrix = np.linalg.inv(cov_matrix)
distance = np.sqrt(np.dot(np.dot((vector1 - vector2).T, inv_cov_matrix), (vector1 - vector2)))
print("马氏距离为:", distance)

10. 欧几里得距离矩阵

在实际应用中，可能需要计算多个点之间的欧氏距离。在NumPy中，可以使用numpy.linalg.norm函数和广播功能来计算多个点之间的欧氏距离矩阵，下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义多个点的坐标
points = np.array([[1, 2], [4, 6], [3, 5]])

# 计算欧氏距离矩阵
distance_matrix = np.linalg.norm(points[:, np.newaxis] - points, axis=2)
print("欧氏距离矩阵为:")
print(distance_matrix)