SymPy – 函数类

Sympy包中有一个Function类，它定义在sympy.core.function模块中。它是所有应用数学函数的基类，也是未定义函数类的构造器。

以下几类函数是由Function类继承的

• 复合数的函数
• 三角函数
• 用于整数的函数
• 组合函数
• 其他杂项函数

关于复数的函数

这一组函数定义在 sympy.function.elementary.complexes 模块中。

复数

这个函数返回一个表达式的实数部分 –

>>> from sympy import * 
>>> re(5+3*I)

上述代码片断的输出结果如下

5

>>> re(I)

上述代码片断的输出是–

0

Im

这个函数返回一个表达式的虚数部分：

>>> im(5+3*I)

上述代码片断的输出结果如下

3

>>> im(I)

上述代码片断的输出结果如下

1

符号

这个函数返回一个表达式的复数符号。

对于实数表达式，符号将是-

• 1，如果表达式是正数
• 如果表达式等于零，则为 0
• 如果表达式为负数，则为-1

如果表达式是虚数，返回的符号是-。

• 如果im(expression)是正数，则为I
• 如果im(expression)是负的，则为-I

>>> sign(1.55), sign(-1), sign(S.Zero)

上述代码片断的输出如下 −

(1, -1, 0)

>>> sign (-3*I), sign(I*2)

上述代码片断的输出如下 −

(-I, I)

绝对值

这个函数返回一个复数的绝对值。它被定义为原点（0,0）和复数平面中的点（a,b）之间的距离。这个函数是内置函数abs()的扩展，接受符号值。

>>> Abs(2+3*I)

上述代码片断的输出结果如下

sqrt13

共轭

这个函数返回一个复数的共轭数。为了找到复数的共轭，我们要改变虚部的符号。

>>> conjugate(4+7*I)

在执行上述代码片段后，你会得到以下输出 –

4 – 7 i

三角函数

SymPy有所有三角函数的定义–sin cos, tan等，以及其对应的asin, acos, atan等。这些函数可以计算以弧度表示的给定角度的各自数值。

>>> sin(pi/2), cos(pi/4), tan(pi/6)

上述代码片断的输出如下 −

(1, sqrt(2)/2, sqrt(3)/3)

>>> asin(1), acos(sqrt(2)/2), atan(sqrt(3)/3)

上述代码片断的输出如下 −

(pi/2, pi/4, pi/6)

关于整数的函数

这是一组对整数进行各种操作的函数。

ceiling

这是一个单变量函数，返回不小于其参数的最小整数值。在复数的情况下，分别是实部和虚部的上限。

>>> ceiling(pi), ceiling(Rational(20,3)), ceiling(2.6+3.3*I)

上述代码片断的输出如下 −

(4, 7, 3 + 4*I)

floor

这个函数返回不大于其参数的最大整数值。如果是复数，这个函数也是分别取实部和虚部的地板。

>>> floor(pi), floor(Rational(100,6)), floor(6.3-5.9*I)

上述代码片断的输出如下 −

(3, 16, 6 – 6*I)

frac

这个函数表示x的小数部分。

>>> frac(3.99), frac(Rational(10,3)), frac(10)

上述代码片断的输出如下 −

(0.990000000000000, 1/3, 0)

组合函数

组合学是数学的一个领域，涉及有限或离散系统内的选择、排列和操作问题。

阶乘

阶乘在组合学中非常重要，它给出了n个对象可以被排列的方式的数量。它在符号上表示为𝑥!这个函数是对非负整数的阶乘函数的实现，负整数的阶乘是复数无穷大。

>>> x=Symbol('x') 
>>> factorial(x)

上述代码片断的输出结果如下

x!

>>> factorial(5)

上述代码片断的输出结果如下

120

>>> factorial(-1)

上述代码片断的输出结果如下

infty\backsim

二项式

这个函数是我们可以从一个有n个元素的集合中选择k个元素的方法的数量。

>>> x,y=symbols('x y') 
>>> binomial(x,y)

上述代码片段的输出结果如下

(\frac{x}{y})

>>> binomial(4,2)

上述代码片断的输出结果如下

6

帕斯卡尔三角形的行数可以用二项式函数生成。

>>> for i in range(5): print ([binomial(i,j) for j in range(i+1)])

在执行上述代码片段后，你会得到以下输出 –

[1]

[1, 1]

[1, 2, 1 ]

[1, 3, 3, 1]

[1, 4, 6, 4, 1 ]

斐波那契

斐波那契数是由初始项F0=0，F1=1和两期递推关系Fn=Fn-1+Fn-2定义的整数序列。

>>> [fibonacci(x) for x in range(10)]

执行上述代码片断后，得到的输出结果如下 —

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

特里莫纳奇

Tribonacci数是由初始项F0=0, F1=1, F2=1和三期递归关系Fn=Fn-1+Fn-2+Fn-3定义的整数序列。

>>> tribonacci(5, Symbol('x'))

上述代码片断给出的输出等同于以下表达式 −

x^8 + 3x^5 + 3x^2

>>> [tribonacci(x) for x in range(10)]

执行上述代码片断后，得到的输出结果如下 —

[0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81]

杂项函数

以下是一些经常使用的函数的列表

Min - 返回列表中的最小值。它被命名为 Min 是为了避免与内置函数 min 冲突。

Max - 返回列表的最大值。它被命名为 Max，以避免与内置函数 max 冲突。

root - 返回x的第n个根。

sqrt - 返回x的主平方根。

cbrt - 这个函数计算x的主立方根，（x++Rational(1,3)的快捷键）。

下面是上述杂项函数的例子和它们各自的输出 –

>>> Min(pi,E)

e

>>> Max(5, Rational(11,2))

frac{11}{2}

>>> root(7,Rational(1,2))

49

>>> sqrt(2)

\sqrt2

>>> cbrt(1000)

10