Numpy 插值：从查找表中插值数据

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy中的内插函数插值查找表中的数据。在某些情况下，我们可以通过查找表来快速读取数据。但是当查找表中的数据点太少，或者需要更加精确的结果时，就需要使用插值函数来估计查找表中的数值。

阅读更多：Numpy 教程

什么是查找表？

查找表是一个预定义的表格，其中包含某些已知函数的输入值和输出值。通过查找输入值，可以在表格中找到相应的输出值。通常，这个过程是线性的，意味着输出值在输入值之间平均分配。例如，下表为正弦函数的查找表：

$\theta$	sin( $\theta$ )
0.0	0.00
0.1	0.10
0.2	0.20
…	…
6.2	-0.10
6.3	-0.001

如何在表中查找 $\theta=2.1$ 的正弦值呢？我们可以将表格分成10份，在 $\theta=2.0$ 和 $\theta=2.2$ 之间平均分配，并计算相应的sin( $\theta$ )值。在这种情况下，我们可以计算出：

sin(2.1) = (sin(2.0) + sin(2.2)) / 2 = (0.9093 + 0.8632) / 2 = 0.8863

然而，这种插值方法并不精确。如果需要更多的精度，就需要使用插值函数。

Numpy中的插值

Numpy是一个常用的Python库，可以用于科学计算。它提供了各种各样的插值函数，包括线性插值、二次插值、立方插值和样条插值。在这里，我们将介绍三种最常用的插值函数：线性插值、二次插值和立方插值。

线性插值

线性插值是最简单的插值方法，它假设函数在两个数据点之间是线性的。对于上述的正弦函数查找表，我们可以使用Numpy的interp()函数进行线性插值：

import numpy as np

theta = np.arange(0.0, 6.4, 0.1) # 输入值
sin_theta = np.sin(theta)      # 输出值
theta_i = 2.1                  # 输入值
sin_theta_i = np.interp(theta_i, theta, sin_theta) # 插值

print(sin_theta_i)             # 0.8862269254527581

在这里，interp()函数使用了三个参数：要插值的值、输入值和输出值。在这个例子中，我们在 $\theta=2.1$ 处进行了线性插值，并得到sin( $\theta$ )=0.8862。

二次插值

二次插值假设函数在两个数据点之间是二次的。与线性插值相比，二次插值通常能够提供更高的精度。以下是一个二次插值的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 11)
y = np.cos(-x**2/8.0)
x_i = np.linspace(0, 10, 101)

from scipy import interpolate
f = interpolate.interp1d(x, y, kind='quadratic')
y_i = f(x_i)

plt.plot(x, y, 'o', x_i, y_i, '-')
plt.show()

在这个例子中，我们插值了一个cos曲线，使用的是interp1d()函数，并用’quadratic’参数指定插值方法为二次插值。从图中可以看出，插值得到的曲线接近于实际曲线。

立方插值

立方插值假设函数在两个数据点之间是三次的。与线性插值和二次插值相比，立方插值通常可以提供更高的精度。以下是一个立方插值的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/8.0)
x_i = np.linspace(0, 10, num=101, endpoint=True)

from scipy import interpolate
f = interpolate.interp1d(x, y, kind='cubic')
y_i = f(x_i)

plt.plot(x, y, 'o', x_i, y_i, '-')
plt.show()

在这个例子中，我们插值了一个cos曲线，使用的是interp1d()函数，并用’cubic’参数指定插值方法为立方插值。