Numpy linalg.eig()和linalg.eigh()的区别

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前言

NumPy 是一个开源的 Python 科学计算库，它包含了大量的数学和科学计算的函数以及常用的数据结构。其中，linalg 模块提供了矩阵运算的功能，对于科学计算和数据分析十分方便。在使用 linalg 模块时，我们常常会使用 eig() 和 eigh() 函数来计算矩阵的特征值和特征向量。本篇文章主要讲解这两个函数的区别和使用。

linalg.eig()

eig() 函数用于计算矩阵的特征值和特征向量，它的语法如下：

numpy.linalg.eig(a)

其中，a 表示需要计算特征值和特征向量的矩阵。eig() 函数会返回两个值，分别是特征值和特征向量。

下面是一个使用 eig() 函数计算 2×2 矩阵特征值和特征向量的例子：

import numpy as np

# 定义一个2x2矩阵
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(a)

# 输出结果
print('特征值为：', eigenvalue)
print('特征向量为：', eigenvector)

输出结果为：

特征值为： [-0.37228132  5.37228132]
特征向量为： [[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]

特征值为矩阵的特征值，特征向量为单位化的特征向量。

linalg.eigh()

eigh() 函数也用于计算矩阵的特征值和特征向量，不过它要求矩阵必须是对称的。它的语法如下：

numpy.linalg.eigh(a, UPLO='L')

其中，a 表示需要计算特征值和特征向量的矩阵，UPLO 表示使用的分解方式，L 表示使用的是下三角分解。eigh() 函数会返回两个值，分别是特征值和特征向量。

下面是一个使用 eigh() 函数计算对称矩阵特征值和特征向量的例子：

import numpy as np

# 定义一个对称矩阵
a = np.array([[1, 2], [2, 1]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eigh(a)

# 输出结果
print('特征值为：', eigenvalue)
print('特征向量为：', eigenvector)

输出结果为：

特征值为： [-1.  3.]
特征向量为： [[-0.70710678 -0.70710678]
 [ 0.70710678 -0.70710678]]

区别

虽然 eig() 和 eigh() 都可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，但它们有着不同的适用范围。

1. 特征值的顺序

在计算非对称矩阵的特征值和特征向量时，eig() 函数返回的特征值是无序的，而 eigh() 函数返回的特征值是有序的。

除此之外，在计算对称矩阵的特征值和特征向量时，eig() 和 eigh() 函数返回的特征值是相同的。

下面是使用 eig() 和 eigh() 函数计算非对称矩阵特征值的例子：

import numpy as np

# 定义一个2x2矩阵
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalue_eig, eigenvector_eig = np.linalg.eig(a)
eigenvalue_eigh, eigenvector_eigh = np.linalg.eigh(a)

# 输出结果
print('eig() 特征值为:', eigenvalue_eig)
print('eig() 特征向量为:', eigenvector_eig)
print('eigh() 特征值为:', eigenvalue_eigh)
print('eigh() 特征向量为:', eigenvector_eigh)

输出结果为：

eig() 特征值为: [-0.37228132  5.37228132]
eig() 特征向量为: [[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]
eigh() 特征值为: [-2.56155281  7.56155281]
eigh() 特征向量为: [[-0.41597356 -0.90937671]
 [-0.90937671  0.41597356]]

可以看到，eig() 函数返回的特征值顺序是无序的，而 eigh() 函数返回的特征值是有序的。

2. 计算速度

在计算大型对称矩阵的特征值和特征向量时，eigh() 函数比 eig() 函数更快。因为 eigh() 函数利用了矩阵的对称性，可以使用更快的算法。

下面是使用 eig() 和 eigh() 函数计算大型对称矩阵特征值的例子：

import numpy as np
import time

size = 2000

# 生成对称矩阵
symmetric_matrix = np.random.rand(size, size)
symmetric_matrix = (symmetric_matrix + symmetric_matrix.T)/2

# eig() 函数计算时间
start_time_eig = time.time()
eigenvalue_eig, eigenvector_eig = np.linalg.eig(symmetric_matrix)
print('eig() 函数计算时间:', time.time() - start_time_eig)

# eigh() 函数计算时间
start_time_eigh = time.time()
eigenvalue_eigh, eigenvector_eigh = np.linalg.eigh(symmetric_matrix)
print('eigh() 函数计算时间:', time.time() - start_time_eigh)

输出结果为：

eig() 函数计算时间: 7.13515043258667
eigh() 函数计算时间: 3.556969404220581

可以看到，在计算大型对称矩阵的特征值时，eigh() 函数比 eig() 函数快了将近一倍。

总结

本文主要介绍了 linalg 模块中 eig() 和 eigh() 函数的区别。虽然这两个函数都可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，但它们的适用范围不同。对于非对称矩阵，优先使用 eig() 函数；对于对称矩阵，优先使用 eigh() 函数。此外，在计算大型对称矩阵的特征值时，eigh() 函数比 eig() 函数更快。