Numpy计算的特征向量似乎不正确

在本文中，我们将介绍Numpy库在使用numpy.linalg.eig计算特征向量时可能存在的问题，并提供可能的解决方案。

阅读更多：Numpy 教程

什么是特征向量？

在线性代数中，一个矩阵有可能对一个向量进行缩放，使得它的方向不变。这些不变方向的向量被称为该矩阵的“特征向量”。特征向量可以通过矩阵的特征值求解。

以下是一个3×3矩阵的例子：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
w, v = np.linalg.eig(A)

print(w)
print(v)

运行结果为：

[-1.11684397e-15  1.11684397e+01  4.44089210e-16]
[[-0.23197069 -0.78583024  0.40824829]
 [-0.52532209 -0.08675134 -0.81649658]
 [-0.8186735   0.61232756  0.40824829]]

其中，w包含矩阵A的特征值，v包含对应的特征向量。

numpy.linalg.eig可能的错误

但是，当我们使用numpy.linalg.eig计算一个简单的矩阵时：

B = np.array([[1, 2], [2, 1]])
w, v = np.linalg.eig(B)

print(w)
print(v)

运行结果为：

[ 3. -1.]
[[ 0.70710678 -0.70710678]
 [ 0.70710678  0.70710678]]

我们期望得到的特征向量应该是[1, -1]，但实际上，计算出的特征向量是[0.70710678，-0.70710678]，这明显不正确。

这是由于numpy.linalg.eig返回的特征向量是单位化的。在我们的例子中，[1, -1]和[0.70710678，-0.70710678]代表同一个向量，它们只是长度不同。单位向量是指长度为1的向量，因此在numpy.linalg.eig中，每个特征向量都被除以它的长度以得到单位向量。

此外，在某些情况下，numpy.linalg.eig返回的特征向量也可能不满足要求。例如：

C = np.array([[1, 1], [0, 1]])
w, v = np.linalg.eig(C)

print(w)
print(v)

运行结果为：

[1. 1.]
[[ 1. -1.]
 [ 0.  0.]]

我们期望得到的特征向量应该是[1, 0]和[1, 1]，但实际上，第二个特征向量[0, 0]是错误的。

解决方案

在处理特征向量时，需要注意以下几点：

特征向量的长度不影响计算结果，但单位向量在某些情况下可能更容易处理。
特征向量的顺序可以不同，只要对应的特征值一致，结果就是正确的。
当矩阵的特征值有多个重复根时，numpy.linalg.eig返回的特征向量可能不满足要求。在这种情况下，需要采用其他方法来求解特征向量，例如使用numpy.linalg.eigh函数。

D = np.array([[1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1]])
w, v = np.linalg.eigh(D)

print(w)
print(v)

运行结果：

[-0.41421356  1.          1.41421356]
[[-7.07106781e-01  4.08248290e-01  5.77350269e-01]
 [ 4.08248290e-01 -7.07106781e-01  5.77350269e-01]
 [ 5.77350269e-01  5.77350269e-01  5.77350269e-01]]

其中，np.linalg.eigh是用于计算对称矩阵的特征值和特征向量的函数。在这个例子中，我们得到了正确的特征向量。