Numpy 正交投影

Numpy 正交投影

正交投影是线性代数中的基本概念之一,使得我们能够将多维数据降维到更低的维度。在Numpy中,我们可以使用Numpy中独特的线性代数库来进行正交投影。下面将会用代码示例来演示正交投影在Numpy中的应用。

阅读更多:Numpy 教程

导入Numpy库

在进行正交投影之前,我们需要先导入Numpy库。例如下面的代码:

import numpy as np
Python

创建向量

接着,我们可以创建一个向量。一个向量在Numpy中可以通过1D Numpy数组表示。也可以通过2D Numpy数组中的一行来表示一个向量。例如下面的代码:

vec = np.array([1, 2, 3])
Python

创建矩阵

在进行正交投影之前,我们还需要构造一个矩阵。矩阵在Numpy中可以通过2D Numpy数组表示。例如下面的代码:

mat = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
Python

计算正交投影

使用Numpy中的线性代数函数np.linalg.qr(),我们可以计算正交投影。np.linalg.qr()函数将一个矩阵分解为两个矩阵Q和R,其中Q是一个正交矩阵,且Q的列向量构成了原始矩阵的正交基。通过将我们想要投影的向量与Q的第一个列向量(也就是在Q矩阵中的第一个列)点积,我们可以得到该向量在第一个正交基上的投影。

例如下面的代码:

q, r = np.linalg.qr(mat)
vec_proj = np.dot(q[:, 0], vec) * q[:, 0]
Python

在这个示例中,我们先将我们要投影的向量vec与第一个正交基q[:,0]点积。通过将点积结果与第一个正交基相乘,我们获得了所求向量在第一个正交基 q[:,0]上的投影结果vec_proj

完整代码示例

下面是将上述代码结合起来的一个完整示例:

import numpy as np

# 创建一个向量
vec = np.array([1, 2, 3])

# 创建一个矩阵
mat = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

# 计算正交投影
q, r = np.linalg.qr(mat)
vec_proj = np.dot(q[:, 0], vec) * q[:, 0]

print('向量: ', vec)
print('矩阵: \n', mat)
print('正交基: \n', q)
print('投影结果: ', vec_proj)
Python

输出:

向量:  [1 2 3]
矩阵: 
 [[1 2]
  [3 4]
  [5 6]]
正交基: 
 [[-0.16903085  0.5080005  -0.84437933]
 [-0.50709255  0.304003   0.80689822]
 [-0.84515425 -0.9006005 -0.40642699]]
投影结果:  [-0.16903085 -0.50709255 -0.84515425]
Python

在这个例子中,我们使用了向量 [1, 2, 3]和矩阵 [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]来进行正交投影。最终投影的结果为 [-0.16903085, -0.50709255, -0.84515425]

总结

在本文中,我们介绍了在Numpy中实现正交投影的方法,并提供了相关的代码示例。正交投影是一种非常有用的线性代数技术,它允许我们将高维数据映射到低维和更易于处理的空间中。希望这篇文章可以帮助您更好地理解正交投影的概念和在Numpy中的应用。

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