Numpy 实现整数线性规划的多种解决方案

在本文中，我们将介绍使用NumPy进行整数线性规划（ILP）的多种解决方法，并通过示例来演示如何使用这些方法。

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什么是整数线性规划（ILP）？

整数线性规划（ILP）是指在一个线性约束下寻找距离最优解尽可能近的最优整数解问题。它通常涉及以下三个要素：

线性约束：例如，一个向量的系数、一个向量的下限或上限。
目标函数：通常是需要最小化或最大化的某个线性量，例如投资的收益、工厂的产量、货物的数量等。
整数限制：要求变量必须是整个值。

这些约束可以用矩阵运算来表示。在NumPy中，我们可以通过简单的数组来表示。

ILP 的多种解决方案

NumPy提供了多种解决整数线性规划问题的方法。以下是其中三种常用的方法：

最优化库

NumPy最优化库scipy.optimize中提供了整数线性规划的求解器。通过将问题表示为标准线性规划问题后，使用其求解方法即可得出整数线性规划的最优解。

import scipy.optimize as lp

# 定义线性规划问题
c = [-1, 4] # 目标函数
A = [[-3, 1], [1, 2]] # 约束
b = [-6, 4] # 约束条件

# 调用 ILP 求解器
solution = lp.linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[(0, None), (0, None)], method='highs', options={'integer_tol':1e-9, 'maxiter':1000})
print(solution)

上述代码中，我们首先定义了线性规划问题的目标函数、约束和约束条件。接着，我们使用优化求解器来求解整数线性规划问题，并将结果存储在solution变量中。

分支界限法

分支界限法（Branch-and-Bound）是一种适用于整数线性规划问题的常用求解方法。该方法先求解整数线性规划问题，再将其结果分解为两个子问题，分别求解子问题，继续递归求解，直到无法继续分解为止。分支界限法的效率非常高，可以在较短的时间内找到最优解。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

def branch_and_bound(c, A, b):
    c = np.array(c)
    A = np.array(A)
    b = np.array(b)

    best_solution = np.Inf
    best_x = None

    def solve(prob):
        nonlocal best_solution, best_x

        sol = linprog(prob.c, A_eq=prob.A_eq, b_eq=prob.b_eq, A_ub=prob.A_ub, b_ub=prob.b_ub, bounds=prob.bounds, method='highs', options={'integer_tol':1e-9, 'maxiter':1000})

        if sol.fun >= best_solution:
            return
        if np.all(np.abs(sol.x - np.round(sol.x)) < 1e-8):
            best_solution = sol.fun
            best_x = np.round(sol.x)
        else:
            i = np.argmax(np.abs(sol.x - np.round(sol.x))) # 选择最远离整数的变量
            x_i = np.round(sol.x)[i]
            prob1 = ILPProblem(prob.c, np.vstack([prob.A_ub, A[i]]), np.hstack([prob.b_ub, np.floor(sol.x[i])]), prob.A_eq, prob.b_eq, prob.bounds)
            prob2 = ILPProblem(prob.c, np.vstack([prob.A_ub, -A[i]]), np.hstack([prob.b_ub, np.ceil(sol.x[i]) - 1]), prob.A_eq, prob.b_eq, prob.bounds)
            solve(prob1)
            solve(prob2)

    class ILPProblem:
        def __init__(self, c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds):
            self.c = c
            self.A_ub = A_ub
            self.b_ub = b_ub
            self.A_eq = A_eq
            self.b_eq = b_eq
            self.bounds = bounds

    solve(ILPProblem(c, A, b, None, None, [(0, None), (0, None)]))
    return best_solution, best_x

# 调用分支界限法求解 ILP
c = [1, 4]
A = [[-3, 1], [1, 2]]
b = [-6, 4]
best_solution, best_x = branch_and_bound(c, A, b)
print("最优解：", best_x)

上述代码中，我们使用递归方式实现了分支界限法来求解整数线性规划问题。在递归求解过程中，我们使用贪心法选择偏离整数解最远的变量进行分裂。当问题求解到最后一步时，我们将目标函数下界更新为当前的最优解，终止求解过程。

暴力枚举法

暴力枚举法（Brute Force Enumeration）是一种简单直接的求解方法，但是由于运算量较大，当问题规模较小时才适用。从所有整数解中，依次枚举每一个可能的解，找出目标函数取值最小的整数解。由于需要枚举所有可能整数解，因此这种方法的时间复杂度非常高。

import numpy as np

# 枚举算法求解 ILP
def brute_force(c, A, b):
    max_val = np.sum(np.abs(c))

    best_solution = np.Inf
    best_x = None

    for x in np.ndindex(*[np.ceil(max_val).astype(int)] * len(c)):
        x = np.array(x)
        if np.all(np.dot(A, x) <= b):
            value = np.dot(c, x)
            if value < best_solution:
                best_solution = value
                best_x = x

    return best_solution, best_x

# 调用暴力枚举法求解 ILP
c = [1, 4]
A = [[-3, 1], [1, 2]]
b = [-6, 4]
best_solution, best_x = brute_force(c, A, b)
print("最优解：", best_x)