Numpy 如何从矩阵中找到线性无关行

在矩阵中寻找线性无关行是线性代数中的重要问题。Numpy作为Python科学计算的常用库，具有强大的矩阵计算能力，本文将介绍利用Numpy库如何实现在Python中查找线性无关行。

阅读更多：Numpy 教程

矩阵的定义和表示

矩阵是一个按照固定顺序排列的矩形数表，是线性代数中的基本概念之一。在Numpy中，我们可以用ndarray类来表示矩阵。下面是一个矩阵的例子：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])
print(a)

输出结果为：

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

线性相关与线性无关

在矩阵中，如果其中一行可以表示成另外行的线性组合，则这些行是线性相关的。否则，这些行是线性无关的。例如，在下面的矩阵中：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

第三行可以表示成第一行加上第二行的两倍，因此第一行、第二行、第三行是线性相关的。

在Numpy中，我们可以通过计算矩阵的秩来确定矩阵的线性相关性。如果矩阵的秩小于行数，则说明该矩阵存在线性相关的行。否则，矩阵的所有行都是线性无关的。

下面是如何使用Numpy计算矩阵的秩：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

rank = np.linalg.matrix_rank(a)
print(rank)

输出结果为：

上述代码中，我们使用了Numpy中的linalg.matrix_rank()函数来计算矩阵的秩。在上面的矩阵中，秩为2，说明存在线性相关的行。

高斯消元法

高斯消元法是一种求矩阵秩的常用方法。它将矩阵转换为行阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零的行数，这个数就是矩阵的秩。

下面是如何使用高斯消元法来计算矩阵的秩：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

nrows, ncols = a.shape
for i in range(min(nrows, ncols)):
    # Find pivot row
    pivot = i
    for j in range(i + 1, nrows):
        if abs(a[j, i]) > abs(a[pivot, i]):
            pivot = j
    if abs(a[pivot, i]) < 1e-10:
        break
    if pivot != i:
        a[[i, pivot], :] = a[[pivot, i], :]
    a[i, :] /= a[i, i]
    for j in range(i + 1, nrows):
        a[j, :] -= a[j, i] * a[i, :]
rank = sum(np.abs(np.diag(a)) > 1e-10)

print(rank)

输出结果与上一节中的相同。

上述代码中，我们使用了一个双重循环来遍历矩阵的每一行和每一列。第一次内循环用来找到列主元所在的行，第二次内循环用来对所有行进行消元操作。## 利用Numpy查找线性无关行

在矩阵中查找线性无关的行，可以采用以下方法：

对矩阵进行高斯消元，并统计非零行数。如果该数等于矩阵的秩，则所有行都是线性无关的。
对矩阵进行SVD分解，并统计非零奇异值个数。如果该数等于矩阵的秩，则所有行都是线性无关的。

下面，我们将介绍如何使用这两种方法来查找线性无关行。

高斯消元法查找线性无关行

我们已经介绍了如何使用高斯消元法来计算矩阵的秩。这里，我们可以利用该方法来查找线性无关的行。

假设我们有一个矩阵a，我们可以使用以下代码来查找线性无关的行：

import numpy as np

def linearly_independent_rows(a):
    nrows, ncols = a.shape
    for i in range(min(nrows, ncols)):
        # Find pivot row
        pivot = i
        for j in range(i + 1, nrows):
            if abs(a[j, i]) > abs(a[pivot, i]):
                pivot = j
        if abs(a[pivot, i]) < 1e-10:
            break
        if pivot != i:
            a[[i, pivot], :] = a[[pivot, i], :]
        a[i, :] /= a[i, i]
        for j in range(i + 1, nrows):
            a[j, :] -= a[j, i] * a[i, :]
    rank = sum(np.abs(np.diag(a)) > 1e-10)
    return rank, a[:rank, :]

上述代码中，我们将高斯消元法封装成了函数linearly_independent_rows()。该函数接收一个矩阵a作为输入，返回矩阵的秩和线性无关行的子矩阵。

下面是如何使用该函数来查找线性无关行：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

rank, li_rows = linearly_independent_rows(a)
print(rank)
print(li_rows)

输出结果为：

2
[[ 1.  2.  3.]
 [ 0.  0.  0.]]

上述代码中，我们将矩阵a传递给函数linearly_independent_rows()，得到矩阵的秩和线性无关的行的子矩阵li_rows。由于矩阵a的秩为2，因此该矩阵存在线性相关的行。线性无关的行的子矩阵为：

1 2 3
0 0 0

可以看到，第二行的元素全都是0，因此它可以被其他行线性表示，所以它不是线性无关的。

SVD分解查找线性无关行

SVD分解是一种将一个矩阵分解为三个线性变换的乘积的方法。这三个线性变换分别是左奇异矩阵、奇异值和右奇异矩阵。在SVD分解中，奇异值矩阵的非零奇异值个数等于矩阵的秩。

下面是如何利用SVD分解来查找线性无关行：

import numpy as np

def linearly_independent_rows_svd(a):
    u, s, vh = np.linalg.svd(a)
    rank = sum(s > 1e-10)
    li_rows = u[:, :rank]
    return rank, li_rows.T

上述代码中，我们使用了Numpy中的linalg.svd()函数来进行SVD分解，并从奇异值矩阵中提取出非零奇异值的个数，即矩阵的秩，然后求出左奇异矩阵的前rank列，这些列所对应的行即为线性无关的行。

下面是如何使用该函数来查找线性无关行：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

rank, li_rows = linearly_independent_rows_svd(a)
print(rank)
print(li_rows)

输出结果为：