Numpy 最近邻搜索

当我们需要在大量数据中搜索最近的数据点时，最近邻搜索是一个非常有用的技术。在机器学习和数据分析中，最近邻搜索被广泛应用，例如图像识别、聚类分析、异常检测等。Python中的Numpy库提供了一些强大的最近邻搜索函数，本文将介绍如何使用它们。

阅读更多：Numpy 教程

什么是最近邻搜索？

最近邻搜索是指在一个集合中查找符合某些规则的最近的数据点。数据点可以是向量、实数或其他类型的数据。最常见的场景是查找在N维空间中距离某个目标点最近的数据点。最近邻搜索的算法有很多种，包括线性搜索、KD树、球树等等。不同的算法适用于不同的场景和数据类型。

例如，我们可以使用最近邻搜索来查找与一张图片最相似的图片。我们可以将每张图片表示为一个N维向量，然后使用最近邻搜索算法在所有图片向量中查找与目标图片向量最相似的向量。

Numpy中的最近邻搜索函数

Numpy中有几个用于最近邻搜索的函数，包括argsort、argpartition、argmin等。这些函数都是基于Numpy数组实现的，因此，它们可以非常高效地处理大量数据。下面，我们将介绍这些函数的用法和示例。

`argsort`

argsort函数返回一个数组，其中每个元素是原始数组中对应位置的索引，根据元素值的大小升序排序。我们可以使用argsort来查找数组中最小的N个元素的索引。

import numpy as np
arr = np.array([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5])
k = 3
top_k_idx = arr.argsort()[:k]
print(top_k_idx)

输出结果为：

[ 1  3  6]

这表明，原始数组中索引为1、3、6位置的元素是最小的3个元素。

`argpartition`

argpartition函数类似于argsort，但是它只对数组的一部分元素进行排序。具体来说，argpartition将数组划分为两个部分，并返回划分位置的索引。划分位置索引左侧的所有元素都比划分位置索引右侧的任何元素小。我们可以使用argpartition来查找数组中第K小的元素。

arr = np.array([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5])
k = 3
k_idx = np.argpartition(arr, k-1)[k-1]
print(k_idx)

输出结果为：

这表明，原始数组中第3小的元素（即1）的索引是3。

`argmin`

argmin函数返回数组中最小元素的索引。我们可以使用argmin来查找数组中最接近某个值的元素的索引。

arr = np.array([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5])
target = 3.8
nearest_idx = np.abs(arr - target).argmin()
print(nearest_idx)

输出结果为：

这表明，原始数组中最接近3.8的元素是4，它的索引是2。

最近邻搜索算法

虽然Numpy中的最近邻搜索函数可以处理一些简单的最近邻问题，但是对于大型数据集或高维空间，它们的性能可能会受到限制。因此，我们需要更高效的最近邻搜索算法。在这里，我们介绍三种经典的算法：线性搜索、KD树和球树。

线性搜索

线性搜索是最简单的最近邻搜索算法。它的原理很简单：对于给定的目标点，遍历所有数据点，计算它们与目标点之间的距离，然后返回距离最小的数据点。但是，由于要遍历所有数据点，这种算法的时间复杂度是 $O(N)$ ，无法处理大型数据集。

def linear_search(data, query):
    min_dist = float('inf')
    nearest = None
    for d in data:
        dist = np.linalg.norm(d - query)
        if dist < min_dist:
            min_dist = dist
            nearest = d
    return nearest

KD树

KD树是一种建立在多维空间中的二叉搜索树数据结构。它的建立过程是递归的：对于当前节点，选择一个维度，并将数据沿该维度划分为两个子集，使得分割点左侧的数据维度值小于分割点右侧的数据维度值。分割点成为该节点的值，并成为下一层递归的分割点。建立完KD树后，可以通过跳过不必要的子树来降低搜索时间。

class KDTree:
    def __init__(self, data, leaf_size=10):
        self.leaf_size = leaf_size
        self.data = data
        self.N, self.D = data.shape
        self.tree = self.build_tree(self.data)

    def build_tree(self, data, depth=0):
        if len(data) <= self.leaf_size:
            return ('leaf', data)
        else:
            # select axis
            axis = depth % self.D
            # sort along axis
            idx = data[:,axis].argsort()
            data = data[idx,:]
            # find median
            mid = len(data) // 2
            # recurse left and right
            left = self.build_tree(data[:mid,:], depth+1)
            right = self.build_tree(data[mid:,:], depth+1)
            return ('node', left, right, mid, data[mid,:])

    def query(self, query, k=1):
        # initialize search
        best = []
        q = np.array(query)
        # search tree
        nodes_to_visit = [(self.tree, q)]
        while nodes_to_visit:
            node, q = nodes_to_visit.pop()
            if node[0] == 'leaf':
                for d in node[1]:
                    dist = np.linalg.norm(d - q)
                    if len(best) < k or dist < best[-1][0]:
                        heapq.heappush(best, (dist, d))
                        if len(best) > k:
                            heapq.heappop(best)
            else:
                axis = node[3] % self.D
                if q[axis] < node[4][axis]:
                    nodes_to_visit.append((node[1], q))
                    if q[axis] - best[-1][0] <= node[4][axis]:
                        nodes_to_visit.append((node[2], q))
                else:
                    nodes_to_visit.append((node[2], q))
                    if q[axis] + best[-1][0] >= node[4][axis]:
                        nodes_to_visit.append((node[1], q))
        return [x[1] for x in sorted(best)]

data = np.random.random((10000, 5))
tree = KDTree(data, leaf_size=10)
query = np.random.random((5,))
nearest = tree.query(query)[0]

球树

球树是另一种用于最近邻搜索的树形数据结构。它将数据点存储在球中，并将球沿分隔平面划分为两部分。树的节点表示一个球，其值表示覆盖该球的数据点的集合。球树可以比KD树更快地处理高维数据，但是它需要使用启发式来选择分割平面，这可能会影响结果的准确性。

class BallTree:
    def __init__(self, data, leaf_size=10):
        self.leaf_size = leaf_size
        self.data = data
        self.N, self.D = data.shape
        self.tree = self.build_tree(self.data)

    def build_tree(self, data, idxs=None):
        if idxs is None:
            idxs = np.arange(len(data))
        if len(idxs) <= self.leaf_size:
            return ('leaf', idxs)
        else:
            # select axis
            variances = np.var(data[idxs,:], axis=0)
            axis = np.argmax(variances)
            # find median
            median = np.median(data[idxs,axis])
            # recurse left and right
            left_idxs = idxs[data[idxs,axis] < median]
            right_idxs = idxs[data[idxs,axis] >= median]
            if len(left_idxs) == 0 or len(right_idxs) == 0:
                left_idxs = idxs[:len(idxs) // 2]
                right_idxs = idxs[len(idxs) // 2:]
            left = self.build_tree(data, left_idxs)
            right = self.build_tree(data, right_idxs)
            return ('node', median, variances[axis], left, right)

    def query(self, query, k=1):
        # initialize search
        best = []
        q = np.array(query)
        # search tree
        nodes_to_visit = [(self.tree, None)]
        while nodes_to_visit:
            node, p = nodes_to_visit.pop()
            if node[0] == 'leaf':
                for i in node[1]:
                    d = self.data[i,:]
                    dist = np.linalg.norm(d - q)
                    if len(best) < k or dist < best[-1][0]:
                        heapq.heappush(best, (dist, i))
                        if len(best) > k:
                            heapq.heappop(best)
            else:
                if np.linalg.norm(q - node[1]) - np.sqrt(node[2]) < best[-1][0]:
                    if q[node[0]] < node[1]:
                        nodes_to_visit.append((node[3], node))
                        nodes_to_visit.append((node[4], None))
                    else:
                        nodes_to_visit.append((node[4], node))
                        nodes_to_visit.append((node[3], None))
        return [x[1] for x in sorted(best)]

data = np.random.random((10000, 5))
tree = BallTree(data, leaf_size=10)
query = np.random.random((5,))
nearest = tree.query(query)[0]

总结

Numpy提供了一些方便的最近邻搜索函数，包括argsort、argpartition和argmin。但是，对于大型数据集或高维空间，我们需要更高效的最近邻搜索算法，如线性搜索、KD树和球树。这些算法可用于各种应用，包括图像识别、聚类分析和异常检测。在实际应用中，我们应该选择最适合我们数据和问题的算法。