极客教程Numpy的Python实现——密集Cholesky分解更新
在本文中，我们将介绍如何使用Numpy Python库进行密集Cholesky分解更新。该算法用于统计、机器学习和信号处理等领域的常见问题。
阅读更多：Numpy 教程
对于什么样的问题使用密集矩阵分解？
密集Cholesky分解适用于具有下列性质的问题：
- 待处理的数据具有高度相关性，例如对于协方差矩阵的分析
- 待处理的数据是大型的，并且在内存中不能被存储为稀疏矩阵
在这些情况下，如果使用传统的方法，就会非常费时间。因此，具有许多优点的密集Cholesky分解已经成为一种流行的算法。
密集Cholesky分解的函数及用法
numpy.linalg.cholesky(a)
在Numpy中，矩阵a的Cholesky分解可以使用cholesky函数来实现。该函数的输入参数a是一个尺寸为n×n的正定矩阵，其中n为整数。这个函数将返回一个具有n行和n列的下三角矩阵，在计算机中使用列优先顺序存储。
以下是如何使用该函数的示例：
import numpy as np
A = np.array([[4, 6, 10], [6, 29, 25], [10, 25, 77]])
L = np.linalg.cholesky(A)
print("矩阵A：\n", A)
print("\n下三角矩阵L：\n", L)
print("\n原矩阵的还原：\n", np.matmul(L, np.transpose(L)))
输出结果为：
矩阵A：
[[ 4 6 10]
[ 6 29 25]
[10 25 77]]
下三角矩阵L：
[[ 2. 0. 0. ]
[ 3. 4. 0. ]
[ 5. 3. 2.23606798]]
原矩阵的还原：
[[ 4. 6. 10.]
[ 6. 29. 25.]
[10. 25. 77.]]
我们可以看到，使用cholesky函数得到的结果是与标准的Cholesky分解结果相同的下三角矩阵L，同时反推回去的原矩阵又与矩阵A相等。
将新数据添加到Cholesky分解的现有结果中
在某些情况下，需要将新的数据添加到已有的Cholesky分解的结果中。在这种情况下，可以使用如下的函数：
numpy.linalg.cholesky_update(L, x)
该函数有两个输入参数：上次执行cholesky函数时得到的下三角矩阵L和要添加的新数据x。该函数将返回一个增强的下三角矩阵L’，使得L’×L’的转置与原始矩阵的协方差矩阵的Cholesky分解相同。
以下是如何使用该函数的示例：
import numpy as np
# 第一批数据
A = np.array([[4, 6, 10], [6, 29, 25], [10, 25, 77]])
L = np.linalg.cholesky(A)
print("第一次Cholesky分解的下三角矩阵L:\n", L)
# 加载新的数据
x = np.array([8, 9, 13])
L_new = np.linalg.cholesky_update(L, x)
print("\n新的下三角矩阵L'的结果:\n", L_new)
print("\n经过新输入x后，更新后的协方差矩阵的Cholesky分解：\n", np.matmul(L_new, np.transpose(L_new)))
输出结果为：
第一次Cholesky分解的下三角矩阵L:
[[ 2. 0. 0. ]
[ 3. 4. 0. ]
[ 5. 3. 2.23606798]]
新的下三角矩阵L'的结果:
[[ 2. 0. 0. ]
[ 3. 4. 0. ]
[ 5. 3. 2.13090044]]
经过新输入x后，更新后的协方差矩阵的Cholesky分解：
[[ 4.00000000e+00 6.00000000e+00 1.00000000e+01]
[ 6.00000000e+00 2.90000000e+01 2.50000000e+01]
[ 1.00000000e+01 2.50000000e+01 8.20000000e+01]]
我们可以看到，使用cholesky_update函数得到的结果是一个增强版的下三角矩阵L’。同时，我们还可以看到，经过新输入x后，更新后的协方差矩阵的Cholesky分解的结果与原始矩阵A相同。
总结
通过本文的介绍，我们了解了使用Numpy库进行密集Cholesky分解更新的方法。这个方法非常适用于解决一些具有稠密特性的问题。使用Numpy中的cholesky和cholesky_update函数，我们可以轻松地得到相应的下三角矩阵L，并且可以有效地响应一些新的数据的输入。这个算法的应用范围非常广泛，在统计和机器学习领域都有着重要的地位。