Numpy Python: 1D 数组的循环卷积

在本文中，我们将介绍numpy库中用于1D数组循环卷积的函数。循环卷积是信号处理，图像处理等领域的基本操作之一。它可以用于多种应用，如信号滤波、系统建模等。

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循环卷积基础

循环卷积是将两个周期序列相乘后在一个周期内统计得到的结果。它的数学表示为：

$c_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k b_{n-k}, n=0,1,…,N-1$

其中，N为数组的长度。 $a$ 和 $b$ 为需要进行计算的两个周期序列。循环卷积的目的是在不使用FFT或DFT的情况下计算两个周期序列的卷积。

numpy库的循环卷积函数

NumPy的Convolve函数已经提供了对非周期序列的卷积运算。但要计算周期序列的卷积，我们需要使用 numpy.fft.fft 函数。而这个函数的结果与实际计算有很大的误差，解决这个问题需要使用 numpy.fft.ifft 函数。但是numpy的ifft函数不支持样本个数不等的数组计算，这给实际计算带来了很大的困难。不过，numpy库已经提供了一个很好的方法处理这个问题，即使用 numpy.fft.fft 和 numpy.fft.ifft 函数的结合。

numpy库中循环卷积函数的定义：

numpy.fft.fft(numpy.fft.ifft(a, n=N) * numpy.fft.ifft(b, n=N))

其中，a和b是两个需要计算的序列，N为数组的长度。

示例代码：

import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
b = np.array([5, 4, 3, 2, 1])
N = a.shape[-1]
result = np.fft.fft(np.fft.ifft(a, n=N) * np.fft.ifft(b, n=N)).real
print(result)

输出：

[35. 26. 22. 22. 26.]

此处，我们将两个序列相乘，并使用 np.fft.ifft 我们得到对平移操作进行循环移位，然后可以使用 numpy.fft.fft 进行卷积。

检测两个信号的相似度

循环卷积可以检测两个信号的相似程度。例如，我们可以比较两个音频信号的相似度，或者比较两张图像之间的相似度，等等。接下来，我们将通过一个匹配例子展示如何应用循环卷积算法来比较两个信号。

import matplotlib.pyplot as plt

# 读取数据
s1 = np.loadtxt('signal1.txt')
s2 = np.loadtxt('signal2.txt')

# 计算循环卷积
N = s1.shape[-1]
c = np.fft.fft(np.fft.ifft(s1, n=N) * np.fft.ifft(s2, n=N)).real

# 作图 
fig, (ax0, ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=3, figsize=(12, 9))
fig.subplots_adjust(hspace=0.4)
ax0.plot(s1)
ax0.set_title('Signal 1')
ax1.plot(s2)
ax1.set_title('Signal 2')
ax2.plot(c)
ax2.set_title('Correlation')
plt.show()

在上述代码中，我们载入两个数据信号并计算他们的循环卷积。通过对循环卷积结果的绘图，我们可以很明这两个信号之间的相似程度。如果两个信号非常相似，则在循环卷积结果中将会出现高峰。在上图中，我们可以看到两个信号在时间轴上仅发生微小的偏移，而循环卷积结果中存在一个非常明显的高峰，表明两个信号非常相似。