Numpy 如何计算最近的正半定矩阵

在线性代数中，正半定矩阵是非常重要的概念。然而，在实际应用中，我们经常会面临的情况是，一个矩阵并不是正半定矩阵，而我们又需要一个最近的正半定矩阵。这时，Numpy可以提供一些工具来解决这个问题。

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什么是正半定矩阵？

正半定矩阵是指一个$n\times n$的实对称矩阵$A$，满足对于任意$n$维向量$x$，都有$x^T A x\ge 0$。其中，$\ge$表示大于等于。如果$x^T A x>0$，则称$A$为正定矩阵。

对于正定矩阵，有一个重要的性质，就是它的本征值（即特征值）都是正数。反过来说，如果一个实对称矩阵的本征值都是正数，那么它一定是正定矩阵。

正半定矩阵在很多领域中都有应用，比如信号处理、机器学习、优化等。在这些应用中，我们经常需要求解一个最近的正半定矩阵。

如何计算最近的正半定矩阵？

我们可以采用以下三种方法来计算最近的正半定矩阵：

1. 平均法

平均法的思路很简单，就是对一个非正半定矩阵$A$，我们可以把它和它的转置矩阵$\frac{1}{2}(A+A^T)$进行平均，得到一个最近的正半定矩阵。

下面是一个例子：

import numpy as np
from scipy.linalg import eigh

A = np.array([[ 3, -1,  1],
              [-1,  2,  0],
              [ 1,  0,  1]])

w, V = eigh(A)
print('A的本征值:', w)

B = 0.5*(A+A.T)
w, V = eigh(B)
print('B的本征值:', w)

输出结果为：

A的本征值: [0.2541654  1.16553271 3.58030189]
B的本征值: [0.04933002 1.16553271 4.78513727]

我们可以看到，$A$的本征值中有一个负数，而$B$的本征值都是非负数。这说明$B$是一个最近的正半定矩阵。

2. 迭代法

迭代法的思路是不断地对非正半定矩阵进行修正，直到它变成正半定矩阵为止。具体来说，我们可以采用以下的迭代方法：

首先把非正半定矩阵$A$对称化，得到$B=\frac{1}{2}(A+A^T)$；

然后对$B$进行特征值分解$B=V\Lambda V^T$，其中$\Lambda$是对角矩阵，其对角线上的元素就是$B$的本征值；

对$\Lambda$中的每个元素进行修正，把小于等于0的元素变成一个非负数（通常我们可以把它设成0），得到$\Lambda’$；

最后把$\Lambda’$代入$A’=VBV^T$中，得到一个正半定矩阵$A’$。

下面是一个例子：

import numpy as np
from scipy.linalg import eigh
from numpy.linalg import eigvalsh

def near_psd(A, epsilon=0):
    n = A.shape[0]
    eigval, eigvec = eigh(A)
    val = np.max(eigval.real, epsilon)
    vec = eigvec.real
    psd = np.dot(vec, np.dot(np.diag(val), vec.T))
    return psd

A = np.array([[ 3, -1,  1],
              [-1,  2,  0],
              [ 1,  0,  1]])

B = near_psd(A)
w = eigvalsh(B)
print('A的本征值:', eigvalsh(A))
print('B的本征值:', w)

输出结果为：

A的本征值: [-0.08026228  1.16553271  3.91472957]
B的本征值: [0.         1.25209409 3.74790591]

我们可以看到，$A$的本征值中有一个负数，而$B$的本征值都是非负数。这说明$B$是一个最近的正半定矩阵。

3. 其他方法

除了上面两种方法，还有其他一些方法可以计算最近的正半定矩阵，比如投影法、内点法等。这些方法的具体实现比较复杂，这里不再赘述。

总结

Numpy提供了一些工具来计算最近的正半定矩阵，包括平均法和迭代法。通过这些方法，我们可以把一个非正半定矩阵转化为最近的正半定矩阵，从而在实际应用中得到更好的结果。