Numpy 使用FFT卷积相对于实空间卷积的缺点

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介绍

NumPy是最常用的Python科学计算库之一，它提供了一个高效的多维数组对象和各种用于操作数组的工具。Numpy中实现了通过傅里叶变换（FFT）进行卷积的功能。FFT卷积是在频域上执行的，在图像处理、信号处理等领域被广泛使用。这种方式具有一些明显的优势，如速度快、内存占用小等等。但是，相较于实空间卷积，FFT卷积也存在一些显著的缺点。

FFT卷积和实空间卷积的区别

卷积是一种将两个函数组合产生第三个函数的数学运算。实空间卷积是一种直接在信号的时间域（自变量是时间）上执行的卷积运算，而FFT卷积是在信号的频域（变量是频率）上进行的卷积运算。

实数域上的卷积公式可以表示为：

$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau$

其中，f和g是输入函数，*表示卷积运算。

而在频域上进行的FFT卷积可以表示为：

$\mathcal{F}{f * g}(w) = \mathcal{F}{f}(w)\mathcal{F}{g}(w)$

其中 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换， $w$ 表示频率。

优点：FFT卷积快速且占用内存小

FFT卷积通过利用快速傅里叶变换降低了复杂度，从而实现了快速的卷积运算。在处理大型图像、信号等数据时，FFT卷积具有明显的优势，并且可以非常方便地扩展到任意维度的数据。此外，通过FFT卷积，一些昂贵的卷积操作（如卷积核尺寸比输入大）在实空间上是不可行的，但在频域上可以处理。

下面的代码演示了如何使用NumPy中的FFT卷积：

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成输入信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.sin(2 * np.pi * 20 * t) + np.sin(2 * np.pi * 30 * t)

# 生成卷积核
sigma = 10
k = signal.windows.gaussian(M=101, std=sigma)

# 在频域上执行卷积
x_fft = np.fft.fft(x)
k_fft = np.fft.fft(k, len(x))
y_fft = np.fft.ifft(x_fft * k_fft)

# 在实空间上执行卷积
y_real = signal.convolve(x, k, mode='same')

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Input signal')
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(np.arange(len(k)), k)
plt.title('Gaussian kernel')
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, np.real(y_fft)[:1000])
plt.plot(t, y_real)
plt.title('Convolution result')
plt.legend(['FFT convolution', 'Real-space convolution'])
plt.show()

这段代码生成了一个三层子图，第一层绘制了输入信号，第二层绘制了卷积核，第三层同时展示了在频域和实空间上进行卷积的结果。可以看到，在卷积核的尺寸较小（这里卷积核的标准差为10）的情况下，FFT卷积和实空间卷积的结果几乎完全一致。

缺点：FFT卷积需要进行数据的补齐

FFT卷积虽然速度快、占用内存小，但是在执行卷积前需要将输入数据进行补齐以满足FFT的要求。补齐的过程需要额外的计算和存储，会增加一些额外的开销。而且如果输入数据的大小不是2的整数次幂，还需要进行额外的填充操作，这可能会对运算时间产生影响。

下面的代码演示了如果数据大小不是2的整数次幂时，需要对数据进行填充的情况：

import numpy as np
from scipy import signal

# 生成输入信号
t = np.linspace(0, 1, 1001)
x = np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.sin(2 * np.pi * 20 * t)

# 生成卷积核
sigma = 10
k = signal.windows.gaussian(M=101, std=sigma)

# 在频域上执行卷积
x_fft = np.fft.fft(x)
k_fft = np.fft.fft(k, len(x))
y_fft = np.fft.ifft(x_fft * k_fft)

# 在实空间上执行卷积
y_real = signal.convolve(x, k, mode='same')

# 绘制结果
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Input signal')
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(np.arange(len(k)), k)
plt.title('Gaussian kernel')
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, np.real(y_fft)[:1001])
plt.plot(t, y_real)
plt.title('Convolution result')
plt.legend(['FFT convolution', 'Real-space convolution'])
plt.show()

这里将输入数据的长度设置为1001，使用与上面相同的卷积核。因为1001不是2的整数次幂，需要将数据填充到1024个点，这会带来计算和存储上的额外开销。可以看到，FFT卷积和实空间卷积的结果在边缘处有些细微的差异。

缺点：FFT卷积会产生的边缘效应

FFT卷积会产生一些不可避免的边缘效应，这是因为FFT卷积是在频域上进行的，而频域上的卷积会导致频谱的尖峰处发生振荡，这会在实空间上产生一定的边缘效应。在处理一些图像数据时，边缘效应可能会在一定程度上影响输出结果的质量。

下面的代码演示了如何在处理图像数据时，FFT卷积可能产生的边缘效应：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成测试图像
img = np.zeros((256, 256))
mask = np.zeros((256, 256))
mask[128:192, 128:192] = 1
img[mask==1] = 255

# 生成卷积核
sigma = 20
kern_size = int(sigma * 6) + 1
x = np.arange(kern_size) - kern_size // 2
k = np.exp(-(x**2) / (2.0 * sigma**2))
k /= k.sum()

# 在频域上执行卷积
img_fft = np.fft.fft2(img.astype(float))
k_fft = np.fft.fft2(np.pad(k, ((256-kern_size)//2, (256-kern_size//2), mode='constant'))
y_fft = np.fft.ifft2(img_fft * k_fft).real

# 在实空间上执行卷积
import scipy.signal as sg

y_real = sg.convolve2d(img, k, mode='same')

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original image')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.imshow(k, cmap='gray')
plt.title('Gaussian kernel')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.imshow(y_fft, cmap='gray')
plt.title('FFT convolution')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.imshow(y_real, cmap='gray')
plt.title('Real-space convolution')
plt.show()

这段代码生成了一个包含四个子图的图像。第一、二个子图分别展示了原始图像和卷积核。第三、四个子图则分别展示了在频域上和实空间上进行卷积的结果。可以看到，在频域上进行的卷积在边缘处显示出了较严重的振荡效应，而这种效应在实空间上几乎没有出现。