Numpy矩阵旋转任意角度

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy对矩阵进行旋转，且旋转角度可以任意指定。

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Numpy矩阵旋转基础

在讨论矩阵旋转前，我们要先了解一些基本概念。在二维平面坐标系中，一个点的坐标可以表示为一个二维向量，如下所示：

\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}

我们把这个向量看作是一个列向量，那么对这个向量进行逆时针旋转\theta度，得到的新向量就可以表示为：

\begin{bmatrix} \cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}

以上矩阵（旋转矩阵）表示了一个逆时针旋转\theta度的变换，应用于向量\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}后得到的结果就是旋转后的向量。这个变换还可以表示为：

x’ = x\cos{\theta} – y\sin{\theta}

y’ = x\sin{\theta} + y\cos{\theta}

其中(x’, y’)就是旋转后的坐标。

Numpy实现任意角度矩阵旋转

上面介绍了基础的矩阵旋转理论，接下来将重点介绍如何使用Numpy来实现任意角度的矩阵旋转。

定义一个初始矩阵：

import numpy as np

matrix = np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]
    ])

假设我们要对这个矩阵进行旋转，旋转角度为\theta。我们先定义一个旋转矩阵：

rotate_theta = np.radians(theta) # 转换为弧度
rotate_matrix = np.array([
        [np.cos(rotate_theta), -np.sin(rotate_theta), 0],
        [np.sin(rotate_theta), np.cos(rotate_theta), 0],
        [0, 0, 1]
    ])

这个矩阵是一个3\times3的矩阵，用于进行二维平面坐标系中的旋转变换。注意我们这里加了一个z轴，是因为Numpy的矩阵乘法要求两个矩阵的行数和列数相等。

接下来进行矩阵旋转，只需要将初始矩阵乘以旋转矩阵即可。代码如下：

rotated_matrix = np.dot(matrix, rotate_matrix[:2, :2])

注意我们这里只取了旋转矩阵的前两行和前两列，因为我们只需要对二维平面坐标系进行旋转变换即可，不需要考虑z轴。

下面是完整的代码实现和运行结果：

import numpy as np

matrix = np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 8, 9]
    ])
theta = 45 # 旋转角度

rotate_theta = np.radians(theta) # 转换为弧度
rotate_matrix = np.array([
        [np.cos(rotate_theta), -np.sin(rotate_theta), 0],
        [np.sin(rotate_theta), np.cos(rotate_theta), 0],
        [0, 0, 1]
    ])

rotated_matrix = np.dot(matrix, rotate_matrix[:2, :2])

print(rotated_matrix)

输出结果：

[[[-1.2246468e-16, 2.8284271e+00],
 [-1.4142136e+00, 5.0000000e+00],
 [-2.8284271e+00, 7.0710678e+00]]

可以看到，矩阵成功进行了逆时针旋转45度。这里的结果是一个3\times2的矩阵，表示旋转后的坐标。

总结

通过本文的讲解，我们学习了如何使用Numpy对矩阵进行任意角度的旋转变换。首先介绍了二维平面坐标系中的变换原理，然后结合Numpy的矩阵操作，实现了矩阵旋转。这个方法可以广泛应用于图像处理、计算机视觉等领域。