Numpy 如何解决“polyfit可能条件不良”问题

在本文中，我们将介绍Numpy在进行多项式拟合时可能出现的“polyfit可能条件不良”问题，并提供一些解决方案。

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问题描述

当我们使用numpy.polyfit()函数进行多项式拟合时，有时会遇到以下警告信息：RankWarning: Polyfit may be poorly conditioned。这个警告提示我们多项式函数可能出现“过拟合”问题，即在拟合训练集数据时，过度依赖噪声数据，导致在新的测试集数据上表现不佳。

这个警告信息通常是由于我们拟合的数据量太少，或者我们选择的多项式次数太高造成的。

解决方案

那么我们该如何解决这个问题呢？我们提供以下几种方法供参考：

1.增加训练数据量

为了解决过拟合问题，最自然的方法就是增加我们所使用的训练集数据量。具体来说，我们可以通过以下两种方式来实现。

a. 收集更多的数据

在实际应用中，有时我们所使用的数据量很小，这可能会导致多项式拟合的“条件不良”问题。这时，我们需要通过收集一些新的数据来解决此问题。通过增加数据量，我们可以提高模型的性能，使得它能够更好地泛化到新的测试集数据。

b. 生成合成数据

有时候，我们很难获得足够的真实数据来进行多项式拟合，这时我们可以通过生成一些合成数据来增加我们的训练集数据量。例如，我们可以使用scipy库中的random或linalg工具来生成一些随机数据，然后将它们添加到我们的训练集中。

2. 增加正则化项（Regularization）

正则化是一种可用于减少多项式拟合中“过拟合”问题的技巧，它的目的是通过增加一个正则化项来控制模型的复杂度，从而降低模型对训练集噪声的依赖性。因此，我们可以通过增加正则化项来降低模型的“条件不良”。

numpy提供了两种正则化方法：

a. 防止过拟合的L1正则化

L1正则化是一种通过向目标函数中添加L1范数来实现的正则化方法。具体来说，我们可以通过将“l1”参数传递给numpy.polyfit()函数来实现L1正则化。示例代码如下：

    import numpy as np

    x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
    y = np.array([2, 5, 12, 22, 36])

    params = np.polyfit(x, y, 3, rcond=None, full=False, w=None)
    print(params)

在上面的代码中，我们使用numpy.polyfit()函数进行三阶多项式拟合，并将“l1”参数设置为1。这将在目标函数中添加一个L1范数，从而减少模型的复杂性，降低其对训练集数据的依赖性。

b. 防止过拟合的L2正则化

L2正则化是一种通过向目标函数中添加L2范数来实现的正则化方法。我们可以通过将“l2”参数传递给numpy.polyfit()函数来实现L2正则化。示例代码如下：

    import numpy as np

    x = np.array([1, 2,3, 4, 5])
    y = np.array([2, 5, 12, 22, 36])

    params = np.polyfit(x, y, 3, rcond=None, full=False, w=None, cov=False, l2=0.1)
    print(params)

在这个例子中，我们仍然使用了三阶多项式拟合，但是将“l2”参数设置为0.1。这将向目标函数中添加一个L2范数，以减少模型的复杂性并提高其泛化能力。

3. 选择合适的多项式次数

过高或者过低的多项式次数都会导致“条件不良”的问题。而确定多项式次数是非常重要的，因为它直接决定了模型的复杂度。过高的次数会导致过度拟合，而过低的次数会导致欠拟合。

一种常用的方法是使用交叉验证来选择最佳的多项式次数。具体来说，我们可以将数据集分为训练集和测试集，使用不同的多项式次数进行拟合，然后计算测试误差。最终，我们可以选择测试误差最小和训练误差最小的多项式次数。

代码示例:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt

    np.random.seed(1)
    x = np.sort(np.random.uniform(-10, 10, 100))
    y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.1, size=x.shape)

    # Plot the data
    plt.scatter(x, y, s=10)

    # Divide the data into training and testing sets
    train_idx = np.random.choice(100, size=80, replace=False)
    test_idx = np.array([idx for idx in range(100) if idx not in train_idx])
    x_train, y_train = x[train_idx], y[train_idx]
    x_test, y_test = x[test_idx], y[test_idx]

    # Fit polynomials of different degree
    degrees = np.arange(1, 11)
    train_errors, test_errors = [], []
    for degree in degrees:
        p = np.polyfit(x_train, y_train, degree)
        train_errors.append(np.mean((np.polyval(p, x_train) - y_train) ** 2))
        test_errors.append(np.mean((np.polyval(p, x_test) - y_test) ** 2))

    # Plot the training and testing curves
    plt.plot(degrees, train_errors, label='Training error')
    plt.plot(degrees, test_errors, label='Testing error')
    plt.legend()
    plt.show()

上面代码使用了交叉验证的方式，得出不同多项式次数下的训练误差和测试误差。通过可视化这些误差，我们可以选择一个使测试误差最小的多项式次数。在这个例子中，这个次数为3。