Numpy使用Scipy高斯核密度估计法计算CDF反函数

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy和Scipy库来进行高斯核密度估计，以计算CDF反函数。

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什么是高斯核密度估计

高斯核密度估计是一种用于估计连续变量分布函数的非参数方法。它基于样本对目标分布的核密度估计，其中每个样本点都被视为其自身分布的中心。

高斯核密度估计法的核心数学公式为：

$f(x) = \frac{1}{n \,h\sqrt{2\pi}}\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)$

其中 $f(x)$ 表示概率密度函数， $K(\cdot)$ 是核函数， $h$ 是带宽参数， $n$ 是样本数量， $x_i$ 是样本点。

常用的核函数有高斯核函数、Epanechnikov核函数等。

高斯核密度估计法的优点

高斯核密度估计法具有以下优点：

可以近似任意形状的分布函数。
不需要假定概率分布的形状。
可以处理非标准分布形的数据。

如何使用Scipy进行高斯核密度估计

首先，我们需要导入Scipy库中的“gaussian_kde”函数。该函数接受一个一维数组作为输入，并返回一个高斯核密度函数。

import scipy.stats as stats

samples = [2.2, 3.5, 5.1, 7.3, 8.9, 10.2, 11.3, 12.6, 15.5, 17.8]
kde = stats.gaussian_kde(samples)

接下来，我们可以通过使用“evaluate”函数来估计高斯核密度函数对于新样本的值。

import numpy as np

x = np.linspace(min(samples), max(samples), 100)
y = kde.evaluate(x)

如何使用高斯核密度函数计算CDF反函数

我们可以使用SciPy中的“integrate.quad”函数来计算高斯核密度函数在区间[a, b]上的积分值。

import scipy.integrate as integrate

def cdf(x):
    return integrate.quad(lambda y: kde(y), -float("inf"), x)[0]

def cdf_inverse(y, tolerance=1e-6):
    x_low, x_high = min(samples), max(samples)
    while x_high - x_low > tolerance:
        x_middle = (x_low + x_high) / 2.
        if cdf(x_middle) < y:
            x_low = x_middle
        else:
            x_high = x_middle
    return x_high

我们可以使用“cdf_inverse”函数来计算给定CDF值的反函数。例如，我们可以使用以下代码计算CDF为0.5的反函数：