Python 计算完全伽马函数

Python 计算完全伽马函数，与不完全伽马函数相比，完全伽马函数更难实现，其中有多种近似方法。更多相关信息，请访问http://dlmf.nist.gov/5。Python的math库中有一个可用的版本，它实现了一个广泛适用的近似。

我们对完全伽马函数的完整通用实现并不感兴趣，只关心两种特殊情况：整型值和二分值。对于这两种特殊情形，可以得到精确的解，而不需要依赖近似。
对于整数值，$$\tau_n$$=(n-1)!。整数的完全伽马函数可以依赖此前定义的阶乘函数。

对于二分值，有一个特殊形式：

它包含一个无理数 $$\sqrt{\pi}$$，因此只能使用float或Fraction对象来近似表示。

如果使用合适的Fraction值，那么可以用以下几个简单用例来设计一个函数：一个integer数值、一个分母为1的Fraction值和一个分母为2的Fraction值。可以如下所示使用Fraction值：

sqrt_pi = Fraction(677_622_787, 382_307_718)

from typing import Union
def Gamma_Half(
        k: Union[int, Fraction]
    ) -> Union[int, Fraction]:
    if isinstance(k, int):
        return fact(k-1)
    elif isinstance(k, Fraction):
        if k.denominator == 1:
            return fact(k-1)
        elif k.denominator == 2:
            n = k-Fraction(1, 2)
            return fact(2*n)/(Fraction(4**n)*fact(n))*sqrt_pi
    raise ValueError(f"Can't compute Γ({k})")

将这个函数称为Gamma_Half是为了强调它只适用于所有整数二分数。对于整型值，可使用前面定义的fact()函数。对于分母为1的Fraction对象，可使用同一个fact()定义。

如果分母为2，可以使用更复杂的闭形式值。我们对值 $$4^n$$n! 显式使用了一个Fraction()函数，还为无理数 $$\sqrt{\pi}$$ 提供了一个Fraction近似。

一些测试用例如下所示：

也可以用合适的Fraction值来表示它们。无理数的表示（平方根和π）往往会生成数值很大且可读性很差的分数。可以使用更易读的分数形式，如下所示：

>>> g = Gamma_Half(Fraction(3, 2))
>>> g.limit_denominator(2_000_000)
Fraction(291270, 328663)

这里给出的值，限制了其分母小于200万，这样就得到了易读的6位数值，可以用它们来进行单元测试。