极客教程本节基于John Hughes的论文“Why Functional Programming Matters”，来分析一个函数式编程的经典实例，这篇文章出自论文集Research Topics in Functional Programming。
此论文深入分析了函数式编程，并提供了几个例子，我们只分析其中的一个：用Newton-Raphson算法求解函数（平方根函数）。
该算法的许多实现都是通过loops显式管理状态的，比如Hughes的论文中就给出了一段Fortran代码，通过有状态的命令式流程求解。
算法的主体是如何根据当前的近似值计算出下一个近似值。函数next_()以sqrt(n)的当前近似值x为参数，计算出下一个近似值，并确保最终解就在之前近似值的范围内，代码如下所示。
def next_(n, x):
return (x + n / x) / 2
该函数计算出一系列值：
相近两个值的距离每次迭代减半，所以会迅速收敛到:
这里没有将迭代函数命名为next()，以避免与Python的内置函数发生冲突，使用next_()保证在不冲突的前提下尽量清晰地表达出函数的功能。
在命令提示符界面使用该函数，如下所示。
>>> n = 2
>>> f = lambda x: next_(n, x)
>>> a0 = 1.0
>>> [round(x,4) for x in (a0, f(a0), f(f(a0)), f(f(f(a0))),)]
[1.0, 1.5, 1.4167, 1.4142]
首先定义收敛到 \sqrt{2} 的lambda表达式并赋值给变量f，将变量 \alpha0 作为初始值，然后对一系列递归值求值：
等等。将这些函数放在一个生成器表达式中，便于对返回值做指定精度的四舍五入，从而使计算结果更易读，并便于doctest使用。该序列会快速地向 \sqrt{2} 收敛。
我们可以编写一个函数，生成一个含\alphai 的无限长序列，向平方根收敛。
def repeat(f, a):
yield a
for v in repeat(f, f(a)):
yield v
该函数利用近似函数f()和初始值a生成近似值。如果把近似函数替换成前面定义的next_()函数，就可以得到关于参数n平方根的一系列近似值。
其中
repeat()函数要求f()函数只有一个参数，而定义的next_()函数有两个参数。可以用一个匿名函数对象lambda x: next_(n, x)绑定其中一个变量，创建next_()函数的部分绑定版本。
Python的生成器函数不能自动实现递归，必须显式迭代递归结果，并一个一个单独生成计算结果。使用return repeat(f, f(a))并不能多次循环生成一系列值，而会结束迭代并返回一个生成器表达式。
有两种方法可以返回一系列值，而不是生成器表达式。
- 编写显式
for循环：for x in some_iter: yield x - 使用
yield from语句：yield from some_iter
从递归生成器表达式中返回结果，这两种方法的效果相同，这里倾向于使用yield from语句。不过在有些情况下，yield结合复杂表达式，往往比相应的映射和生成器表达式更清晰。
当然，我们并不想计算无限长序列，只要两次迭代的近似值足够接近，就可以任取其中一个作为最终解。通常用希腊字母 \epsilon 表示两个值足够接近，这里的含义是计算平方根的误差上限。
在Python中，我们需要设法从无限序列中一次取一个值，通常把复杂的递归包裹在简单的接口函数中，见如下代码片段。
def within(ε, iterable):
def head_tail(ε, a, iterable):
b = next(iterable)
if abs(a-b) <= ε: return b
return head_tail(ε, b, iterable)
return head_tail(ε, next(iterable), iterable)
首先定义了内部函数head_tail()，以误差允许范围 \epsilon ，两个值距离足够近，表明已找到平方根的解；否则以b为参数，递归调用函数head_tail()，以获取下一次迭代的近似值。
函数within()只需要用参数iterable的第一个值初始化内部的head_tail()函数，后面由递归自动完成。
有些函数式语言允许将一个值放回可迭代序列，在Python中，这类似于用unget()或者previous()方法将一个值追加到迭代器中，然而Python的可迭代数据结构并没有提供这种高级功能。
结合上面3个函数next_()、repeat()和within()，即可创建求平方根函数。
def sqrt(a0, ε, n):
return within(ε, repeat(lambda x: next_(n,x), a0))
repeat()函数基于next_(n, x)函数生成一个（可能的）无限长序列，当两次迭代值之差小于 \epsilon 时，within()即停止序列继续生成值。
使用这个sqrt()函数需要提供一个初始值a0和误差值 \epsilon，表达式sqrt(1.0, .0001, 3)表示从初始估计值1.0开始计算 \sqrt{3}
，误差值为0.0001。对于大多数应用，初始值可以选择1.0，不过初始值与实际平方根越接近，函数收敛越快。
以上近似算法的最初版本是用Miranda语言编写的，可以看到Miranda和Python的实现之间有一些显著区别，主要是Miranda可以构建cons，可以通过类似于unget的方式将值放回可迭代对象中。Miranda和Python的这种对比说明了Python适用于实现多种函数式编程技术。