编写一个Python程序，用于计算将矩阵划分为k个部分的方法数

假设我们有一个二进制矩阵，以及另一个值k。您想将矩阵划分为k个部分，使得每个部分都至少包含一个1。但是我们必须按照以下顺序遵守一些切割规则：

1. 选择一个方向：垂直或水平
2. 选择在矩阵中切割成两个部分的索引
3. 如果我们切割垂直方向，我们不能再切左半部分，但只能继续切割右半部分
4. 如果我们切割水平方向，我们不能再切割顶部，但只能继续切割底部

因此我们必须找到将矩阵划分为不同部分的数量。如果答案非常大，则返回结果mod（10^9 + 7）。

例如，如果输入如下表格，

k = 2，那么输出将是4，因为我们可以垂直切两次，水平切两次。

为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行：

• 令p := 10^9 + 7
• 定义m：矩阵的行数，n：矩阵的列数
• 定义counts：一个空的map
• 对于i从m-1到0的范围，执行以下操作：
  • 对于j从n-1到0的范围，执行以下操作：
    • counts[i, j] := counts[i + 1, j] + counts [(i, j + 1)] – counts [(i + 1, j + 1)] + matrix[i, j]
• 定义一个名为f()的函数。函数将获取x、y和c这三个参数
• 令count := counts[x, y]
• 如果c与0相同，则
  • 当count > 0时返回1，否则返回0
• 令ans := 0
• 对于i从x + 1到m – 1的范围，执行以下操作：
  • 如果0 < counts[(i, y)] < count，则
    • ans := ans + f(i, y, c – 1)
• 对于j从y + 1到n – 1的范围，执行以下操作：
  • 如果0 < counts[(x, j)] < count，则
    • ans := ans + f(x, j, c – 1)
• 返回ans mod p
• 从主方法中调用并返回f(0, 0, k – 1)

以下是实现的代码：

示例

from collections import defaultdict
class Solution:
    def solve(self, matrix, k):
        p = 10**9 + 7
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        counts = defaultdict(int)
        for i in range(m)[::-1]:
            for j in range(n)[::-1]:
                counts[(i, j)] = (counts[(i + 1, j)] + counts[(i, j + 1)] - counts[(i + 1, j + 1)] + matrix[i][j])
        def f(x, y, c):
            count = counts[(x, y)]
            if c == 0:
                return 1 if count > 0 else 0
            ans = 0
            for i in range(x + 1, m):
                if 0 < counts[(i, y)] < count:
                    ans += f(i, y, c - 1)
            for j in range(y + 1, n):
                if 0 < counts[(x, j)] < count:
                    ans += f(x, j, c - 1)
            return ans % p
        return f(0, 0, k - 1)
ob = Solution()
matrix = [
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
]
k = 2
print(ob.solve(matrix, k))

输入

[
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1]
], 2

输出

4