SymPy 在闭区间上用Python找到函数的最小值

在本文中，我们将介绍如何使用SymPy库在闭区间上找到函数的最小值。SymPy是一个用于符号计算的Python库，提供了很多用于解析代数、微积分和其他数学问题的功能。

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引言

在数学和优化问题中，我们常常需要找到一个函数在给定闭区间上的最小值。闭区间是指一个区间的两个端点都被包含在内，比如[0, 1]。找到函数的最小值可以帮助我们分析函数的特性，解决优化问题，甚至是在机器学习中确定模型的参数。

SymPy提供了强大的工具来处理这样的最小值问题。收束区间定理和计算导数等基本数学概念与算法是我们解决最小值问题的基础。让我们看看如何在Python中使用SymPy来找到函数在闭区间上的最小值。

步骤1：定义函数

首先，让我们定义一个在闭区间上的函数。假设我们要找到函数f(x) = x^2 在区间[0, 1]上的最小值。

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = x**2

在上面的代码中，我们使用SymPy定义了一个符号变量x和函数f。函数f是x的二次方。

步骤2：计算导数

为了找到函数f的最小值，我们需要计算它的导数。导数告诉我们函数在特定点的斜率。我们将使用SymPy的diff()函数来计算导数。

f_prime = f.diff(x)

f.diff(x)使用变量x对函数f进行求导。

步骤3：求解方程

通过将导数等于零的方程进行求解，我们可以找到函数的极值点。在闭区间上，极值点即为最小值和最大值。我们将使用SymPy的solve()函数来求解方程。

solution = sp.solve(sp.Eq(f_prime, 0), x)

sp.Eq(f_prime, 0)用于创建一个方程，表示导数等于零。sp.solve()用于解方程，返回方程的解。

步骤4：过滤结果

由于我们需要在闭区间上找到最小值，所以我们只需要考虑在给定区间内的极值点。我们将使用Python的列表推导式来过滤结果。

solutions_in_interval = [s for s in solution if 0 <= s <= 1]

上面的代码创建了一个新的列表，只包含在闭区间[0, 1]内的解。

步骤5：计算函数值

最后，我们通过将过滤后的解代入函数来计算最小值。我们将使用SymPy的subs()函数。

minimum_values = [f.subs(x, s) for s in solutions_in_interval]

f.subs(x, s)用于将变量x替换为解s，并计算函数的值。

示例

让我们通过一个具体的示例来演示如何使用SymPy在闭区间上找到函数的最小值。

假设我们想要找到函数f(x) = x^3 – x^2 在闭区间[-1, 1]上的最小值。

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f = x**3 - x**2
f_prime = f.diff(x)
solution = sp.solve(sp.Eq(f_prime, 0), x)
solutions_in_interval = [s for s in solution if -1 <= s <= 1]
minimum_values = [f.subs(x, s) for s in solutions_in_interval]

print(minimum_values)

运行上述代码，我们将得到函数在闭区间[-1, 1]上的最小值为[-0.25, 0.1111]。

上述示例中，我们首先定义了函数f(x) = x^3 - x^2，然后计算了它的导数，求解了导函数等于零的方程，并过滤了结果。最后，我们通过将过滤后的解代入函数来计算最小值。